初中数学等腰三角形的性质试题

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$， $\mathit{BC}=11$，任作一条直线将 $\mathit{\Delta ABC}$分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有 $($　　 $)$

A．3条B．5条C．7条D．8条

如图，若 $\mathit{\Delta ABC}$内一点 $P$满足 $\angle \mathit{PAC}=\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{PBA}$，则称点 $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$， $\angle \mathit{ACB}=120°$， $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$的布罗卡尔点，若 $\mathit{PA}=\sqrt{3}$，则 $\mathit{PB}+\mathit{PC}=$　　．

等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，顶角 $A$为 $40°$，点 $P$在以 $A$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径的圆上，且 $\mathit{BP}=\mathit{BA}$，则 $\angle \mathit{PBC}$的度数为　　．

某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{AB}$的夹角为 $48°$，若 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$的长度相等，则 $\angle C$的度数为 $($　　 $)$

A． $48°$B． $40°$C． $30°$D． $24°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$，连接 $\mathit{PO}$并延长交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}=10$， $\angle P=30°$，则 $\mathit{AC}$的长度是 $($　　 $)$

A． $5\sqrt{3}$B． $5\sqrt{2}$C．5D． $\frac{5}{2}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2$ ， $P$ 是 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=1$ ，则 $\mathit{PE}+\mathit{PF}=$ 　　．

如图， $\mathit{AD}$是等腰三角形 $\mathit{ABC}$的顶角平分线， $\mathit{BD}=5$，则 $\mathit{CD}$等于 $($　　 $)$

A．10B．5C．4D．3

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，分别以点 $A$， $C$为圆心， $\mathit{AC}$的长为半径作弧，两弧交于点 $D$，连接 $\mathit{DA}$， $\mathit{DC}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $6\sqrt{3}$B．9C．6D． $3\sqrt{3}$

函数 $y=x+1$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，点 $C$在 $x$轴上．若 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形，则满足条件的点 $C$共有　    　个．

如图， $\mathit{\Delta ACB}$和 $\mathit{\Delta DCE}$均为等腰三角形，点 $A$， $D$， $E$在同一直线上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CBA}=\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{CED}=50°$

①求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$；

②求 $\angle \mathit{AEB}$的度数．

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=120°$， $\mathit{CM}$为 $\mathit{\Delta DCE}$中 $\mathit{DE}$边上的高， $\mathit{BN}$为 $\mathit{\Delta ABE}$中 $\mathit{AE}$边上的高，试证明： $\mathit{AE}=2\sqrt{3}\mathit{CM}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathit{BN}$．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，延长 $\mathit{CB}$至点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CA}$，连接 $\mathit{AF}$， $\angle \mathit{ACF}$的平分线分别交 $\mathit{AF}$， $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$于点 $E$， $N$， $M$，连接 $\mathit{EO}$．

（1）已知 $\mathit{EO}=\sqrt{2}$，求正方形 $\mathit{ABCD}$的边长；

（2）猜想线段 $\mathit{EM}$与 $\mathit{CN}$的数量关系并加以证明．