初中数学等腰三角形的性质解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AC}$是直径， $\mathit{BC}=\mathit{BA}$，在 $\angle \mathit{ACB}$的内部作 $\angle \mathit{ACF}=30°$，且 $\mathit{CF}=\mathit{CA}$，过点 $F$作 $\mathit{FH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）若 $\mathit{CF}$交 $\odot O$于点 $G$， $\odot O$的半径是4，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AG}}$的长；

（2）请判断直线 $\mathit{BF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$（点 $E$与点 $C$不重合），点 $F$为 $\mathit{AC}$上一点，点 $G$为 $\mathit{AB}$上一点（点 $G$与点 $A$不重合），且 $\angle \mathit{GEF}+\angle \mathit{BAC}=180°$．

（1）如图1，当 $\angle B=45°$时，线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系是　　．

（2）如图2，当 $\angle B=30°$时，猜想线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并加以证明．

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DG}=1$， $\cos B=\frac{3}{4}$，请直接写出 $\mathit{CF}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，点 $O$是 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$是 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $A$， $O$， $C$重合）．过点 $A$，点 $C$作直线 $\mathit{BP}$的垂线，垂足分别为点 $E$和点 $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）如图1，请直接写出线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$的数量关系；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$时，请判断线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $|\mathit{CF}-\mathit{AE}|=2$， $\mathit{EF}=2\sqrt{3}$，当 $\mathit{\Delta POF}$为等腰三角形时，请直接写出线段 $\mathit{OP}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$， $\angle \mathit{FAC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{ABC}$，且 $\angle \mathit{FAC}$在 $\mathit{AC}$下方．点 $P$， $Q$分别是射线 $\mathit{BD}$，射线 $\mathit{AF}$上的动点，且点 $P$不与点 $B$重合，点 $Q$不与点 $A$重合，连接 $\mathit{CQ}$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{CQ}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{BP}=\mathit{AQ}$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$上运动时，请直接写出线段 $\mathit{DE}$和线段 $\mathit{AQ}$的数量关系和位置关系；

②如图2，当点 $P$运动到线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=2\alpha \ne 60°$，请直接写出当线段 $\mathit{BP}$和线段 $\mathit{AQ}$满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含 $\alpha$的三角函数表示）．

已知 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $D$是 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$是 $\odot O$的弦， $\angle \mathit{AEC}=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$， $\odot O$的半径为4，求 $\mathit{AE}$的长．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$相交于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）分别延长 $\mathit{CB}$， $\mathit{FD}$，相交于点 $G$， $\angle A=60°$， $\odot O$的半径为6，求阴影部分的面积．

问题背景：已知 $\angle \mathit{EDF}$的顶点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$所在直线上（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$所在直线于点 $M$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$所在直线于点 $N$，记 $\mathit{\Delta ADM}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BND}$的面积为 $S_2$．

（1）初步尝试：如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{EDF}=\angle A$，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$时，则 $S_1·S_2=$　　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 $D$沿 $\mathit{AB}$平移，使 $\mathit{AD}=4$，再将 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转至如图②所示位置，求 $S_1·S_2$的值；

（3）延伸拓展：当 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形时，设 $\angle B=\angle A=\angle \mathit{EDF}=\alpha$．

（Ⅰ）如图③，当点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，求 $S_1·S_2$的表达式（结果用 $a$， $b$和 $\alpha$的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，直接写出 $S_1·S_2$的表达式，不必写出解答过程．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$， $\angle F=36°$．求 $\angle B$的度数．

如图， $\mathit{\Delta AOB}$的顶点 $A$、 $B$分别在 $x$轴， $y$轴上， $\angle \mathit{BAO}=45°$，且 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为8．

（1）直接写出 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）过点 $A$、 $B$的抛物线 $G$与 $x$轴的另一个交点为点 $C$．

①若 $\mathit{\Delta ABC}$是以 $\mathit{BC}$为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；

②将抛物线 $G$向下平移4个单位后，恰好与直线 $\mathit{AB}$只有一个交点 $N$，求点 $N$的坐标．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BD}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$．

（1） $E$为 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3\mathit{CD}$，求 $\angle A$的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{BC}$切 $\odot O$于点 $B$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{OA}$是 $\odot O$的半径，且 $\mathit{OA}=3$．

（1）求证： $\mathit{AB}$平分 $\angle \mathit{OAD}$；

（2）若点 $E$是优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AEB}}$上一点，且 $\angle \mathit{AEB}=60°$，求扇形 $\mathit{OAB}$的面积．（计算结果保留 $\pi )$

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$，点 $D$， $E$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AC}$为直径，弦 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\angle 1=\angle \mathit{BAD}$；

（2）求证： $\mathit{BE}$是 $\odot O$的切线．

如图，在三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，直线 $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线， $D$为切点，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$；

（2）求 $\tan \angle E$的值．