初中数学线段垂直平分线的性质试题

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\sqrt{2}+1$，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AD}=\mathit{AE}=1$，连接 $\mathit{DE}$．现将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，如图2，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$．

（1）当 $0°<\alpha <180°$时，求证： $\mathit{CE}=\mathit{BD}$；

（2）如图3，当 $\alpha =90°$时，延长 $\mathit{CE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，求证： $\mathit{CF}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

（3）在旋转过程中，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积的最大值，并写出此时旋转角 $\alpha$的度数．

如图，已知边长为2的等边三角形 $\mathit{ABC}$中，分别以点 $A$， $C$为圆心， $m$为半径作弧，两弧交于点 $D$，连结 $\mathit{BD}$．若 $\mathit{BD}$的长为 $2\sqrt{3}$，则 $m$的值为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\angle \mathit{BDE}=\angle \mathit{BAC}$

B．

$\angle \mathit{BAD}=\angle B$

C．

$\mathit{DE}=\mathit{DC}$

D．

$\mathit{AE}=\mathit{AC}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}$的垂直平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$．若 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{AC}=5$，则 $\mathit{\Delta ACE}$的周长为 $($　　 $)$

A．8B．11C．16D．17

如图，点 $P$是 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$延长线上的一点 $(\mathit{PB}<\mathit{OB})$，点 $E$是线段 $\mathit{OP}$的中点．

（1）尺规作图：在直径 $\mathit{AB}$上方的圆上作一点 $C$，使得 $\mathit{EC}=\mathit{EP}$，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{PC}$（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明 $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{BP}=4$， $\mathit{EB}=1$，求 $\mathit{PC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}>90°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $D$ ， $E$ ．作直线 $\mathit{DE}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ．分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $F$ ， $G$ ．作直线 $\mathit{FG}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ．连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{AN}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ，则 $\angle \mathit{MAN}=$ 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=20°$， $\mathit{PQ}$垂直平分 $\mathit{AB}$，垂足为 $Q$，交 $\mathit{BC}$于点 $P$．按以下步骤作图：①以点 $A$为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$；②分别以点 $D$， $E$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{DE}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $F$；③作射线 $\mathit{AF}$．若 $\mathit{AF}$与 $\mathit{PQ}$的夹角为 $\alpha$，则 $\alpha =$　    ．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}<90°$ ， $\mathit{AB}\ne \mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于线段 $\mathit{BC}$ 长度一半的长为半径作弧，相交于点 $M$ ， $N$ ；②过点 $M$ ， $N$ 作直线 $\mathit{MN}$ ，分别交 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 于点 $D$ ， $O$ ；③连接 $\mathit{CO}$ ， $\mathit{DE}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OB}=\mathit{OC}$

B．

$\angle \mathit{BOD}=\angle \mathit{COD}$

C．

$\mathit{DE}//\mathit{AB}$

D．

$\mathit{DB}=\mathit{DE}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=9$， $\mathit{AC}=4$，分别以点 $A$、 $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$、 $N$，作直线 $\mathit{MN}$，交 $\mathit{BC}$边于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$，则 $\mathit{\Delta ACD}$的周长为　　．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧交于 $D$ ， $E$ 两点，直线 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AF}$ 为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $H$ ，连接 $\mathit{AH}$ ．若 $\mathit{BC}=3$ ，则 $\mathit{\Delta AFH}$ 的周长为 　　．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$年 $\times$月 $\times$日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\mathit{AB}$，现根据木板的情况，要过 $\mathit{AB}$上的一点 $C$，作出 $\mathit{AB}$的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\mathit{AB}$上量出 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，然后分别以 $D$， $C$为圆心，以 $50\mathit{cm}$与 $40\mathit{cm}$为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$，作直线 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{DCE}$必为 $90°$． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$， $N$两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$与点 $C$重合，用铅笔在木板上将点 $N$对应的位置标记为点 $Q$，保持点 $N$不动，将木棒绕点 $N$旋转，使点 $M$落在 $\mathit{AB}$上，在木板上将点 $M$对应的位置标记为点 $R$．然后将 $\mathit{RQ}$延长，在延长线上截取线段 $\mathit{QS}=\mathit{MN}$，得到点 $S$，作直线 $\mathit{SC}$，则 $\angle \mathit{RCS}=90°$． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle C=70°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{BDC}=$

　　 $°$ ．

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}＝90°$，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若 $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{AC}＝4$，则 $\mathit{CD}＝$（　　）

A． $\frac{12}{5}$B． $\frac{9}{5}$C． $\frac{8}{5}$D． $\frac{7}{5}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=14\mathit{cm}$， $\mathit{AB}$的垂直平分线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，且 $\mathit{\Delta DBC}$的周长是 $24\mathit{cm}$，则 $\mathit{BC}=$　　 $\mathit{cm}$．