初中数学线段垂直平分线的性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=9$， $\mathit{AC}=4$，分别以点 $A$、 $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$、 $N$，作直线 $\mathit{MN}$，交 $\mathit{BC}$边于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$，则 $\mathit{\Delta ACD}$的周长为　　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，按以下步骤作图：

①分别以点 $C$和点 $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{CD}$的长为半径作弧，两弧相交于 $M$、 $N$两点；

②作直线 $\mathit{MN}$，且 $\mathit{MN}$恰好经过点 $A$，与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$．

则下列说法错误的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{ABC}=60°$B． $S_{\mathit{\Delta ABE}}=2S_{\mathit{\Delta ADE}}$

C．若 $\mathit{AB}=4$，则 $\mathit{BE}=4\sqrt{7}$D． $\sin \angle \mathit{CBE}=\frac{\sqrt{21}}{14}$

如图，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$的底边 $\mathit{BC}=20$，面积为120，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BF}=3\mathit{FC}$， $\mathit{EG}$是腰 $\mathit{AC}$的垂直平分线，若点 $D$在 $\mathit{EG}$上运动，则 $\mathit{\Delta CDF}$周长的最小值为　　．

平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=60°$， $\mathit{AB}=2\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$的中垂线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$，垂足为 $O$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\tan \angle \mathit{ABD}$的值．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，点 $A$在双曲线 $y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x>0)$上，过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $C$， $\mathit{OA}$的垂直平分线交 $\mathit{OC}$于点 $B$，当 $\mathit{AC}=1$时， $\mathit{\Delta ABC}$的周长为　         　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，按以下步骤作图：①分别以点 $A$和 $C$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$和 $N$；②作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{CD}$于点 $E$．若 $\mathit{DE}=2$， $\mathit{CE}=3$，则矩形的对角线 $\mathit{AC}$的长为　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $F$是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$，与 $\mathit{DE}$交于点 $H$，若 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$， $\mathit{AG}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，连接 $\mathit{GE}$， $\mathit{GD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ECG}\cong \mathit{\Delta GHD}$；

（2）小亮同学经过探究发现： $\mathit{AD}=\mathit{AC}+\mathit{EC}$．请你帮助小亮同学证明这一结论．

（3）若 $\angle B=30°$，判定四边形 $\mathit{AEGF}$是否为菱形，并说明理由．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$年 $\times$月 $\times$日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\mathit{AB}$，现根据木板的情况，要过 $\mathit{AB}$上的一点 $C$，作出 $\mathit{AB}$的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\mathit{AB}$上量出 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，然后分别以 $D$， $C$为圆心，以 $50\mathit{cm}$与 $40\mathit{cm}$为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$，作直线 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{DCE}$必为 $90°$． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$， $N$两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$与点 $C$重合，用铅笔在木板上将点 $N$对应的位置标记为点 $Q$，保持点 $N$不动，将木棒绕点 $N$旋转，使点 $M$落在 $\mathit{AB}$上，在木板上将点 $M$对应的位置标记为点 $R$．然后将 $\mathit{RQ}$延长，在延长线上截取线段 $\mathit{QS}=\mathit{MN}$，得到点 $S$，作直线 $\mathit{SC}$，则 $\angle \mathit{RCS}=90°$． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，连接 $\mathit{CO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CE}$于点 $M$，则 $\frac{\mathit{MO}}{\mathit{MF}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$C． $\frac{2}{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧交于 $D$ ， $E$ 两点，直线 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AF}$ 为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $H$ ，连接 $\mathit{AH}$ ．若 $\mathit{BC}=3$ ，则 $\mathit{\Delta AFH}$ 的周长为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle C=70°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{BDC}=$

　　 $°$ ．

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}＝90°$，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若 $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{AC}＝4$，则 $\mathit{CD}＝$（　　）

A． $\frac{12}{5}$B． $\frac{9}{5}$C． $\frac{8}{5}$D． $\frac{7}{5}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=14\mathit{cm}$， $\mathit{AB}$的垂直平分线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，且 $\mathit{\Delta DBC}$的周长是 $24\mathit{cm}$，则 $\mathit{BC}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：

（1）作线段 $\mathit{AB}$，分别以 $A$， $B$为圆心，以 $\mathit{AB}$长为半径作弧，两弧的交点为 $C$；

（2）以 $C$为圆心，仍以 $\mathit{AB}$长为半径作弧交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$；

（3）连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$．

下列说法不正确的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{CBD}=30°$B． $S_{\mathit{\Delta BDC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2$

C．点 $C$是 $\mathit{\Delta ABD}$的外心D． ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}D=1$