初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{DE}//\mathit{BF}$，且分别交对角线 $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{DE}$，求证：四边形 $\mathit{EBFD}$为菱形．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一动点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{AD}$绕点 $A$逆时针旋转 $90°$，得到 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{DE}$．点 $F$是 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{AD}$；

（2）如图2所示，在点 $D$运动的过程中，当 $\mathit{BD}=2\mathit{CD}$时，分别延长 $\mathit{CF}$， $\mathit{BA}$，相交于点 $G$，猜想 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BC}$存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$运动的过程中，在线段 $\mathit{AD}$上存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小．当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值取得最小值时， $\mathit{AP}$的长为 $m$，请直接用含 $m$的式子表示 $\mathit{CE}$的长．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，分别过点 $A$， $C$作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$． $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAE}$．

（1）若 $\angle \mathit{AOE}=50°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$分别切 $\odot O$于 $A$， $B$两点， $\mathit{CD}$与 $\odot O$有公共点 $E$，且 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$为 $\mathit{BC}$边上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$，以线段 $\mathit{AD}$为边作 $\mathit{\Delta ADE}$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{CAD}$．求证： $\mathit{DE}=\mathit{CB}$．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{FD}$， $\mathit{AF}$的延长线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $G$．

[小题1]求证： $\mathit{\Delta AFD}\backsim \mathit{\Delta GAD}$；

[小题2]如果 $D{F}^2=\mathit{CF}·\mathit{CD}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$．

综合与实践

问题情境：

如图①，点 $E$为正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$绕点 $B$按顺时针方向旋转 $90°$，得到 $\mathit{\Delta CBE}\text{'}$（点 $A$的对应点为点 $C)$．延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CE}\text{'}$于点 $F$，连接 $\mathit{DE}$．

猜想证明：

（1）试判断四边形 $B{E}^{\text{'}}\mathit{FE}$的形状，并说明理由；

（2）如图②，若 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$，请猜想线段 $\mathit{CF}$与 $F{E}^{\text{'}}$的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若 $\mathit{AB}=15$， $\mathit{CF}=3$，请直接写出 $\mathit{DE}$的长．

如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 $\mathit{MN}$．他俩在小明家的窗台 $B$处，测得商业大厦顶部 $N$的仰角 $\angle 1$的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在 $B$处测得商业大厦底部 $M$的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 $C$处测得大厦底部 $M$的俯角 $\angle 2$的度数，竟然发现 $\angle 1$与 $\angle 2$恰好相等．已知 $A$， $B$， $C$三点共线， $\mathit{CA}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{NM}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{AB}=31m$， $\mathit{BC}=18m$，试求商业大厦的高 $\mathit{MN}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．求证： $\mathit{FA}=\mathit{AB}$．

已知 $\angle \mathit{MPN}$的两边分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\odot O$的半径为 $r$．

（1）如图1，点 $C$在点 $A$， $B$之间的优弧上， $\angle \mathit{MPN}=80°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）如图2，点 $C$在圆上运动，当 $\mathit{PC}$最大时，要使四边形 $\mathit{APBC}$为菱形， $\angle \mathit{APB}$的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $D$，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$的式子表示）．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $E$， $F$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{BE}=\mathit{CF}$，点 $D$在 $\mathit{AF}$的延长线上， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ACF}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAE}=30°$，则 $\angle \mathit{ADC}=$　 　 $°$．