初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 上一动点（点 $E$ 与点 $A$ 、 $C$ 不重合），连接 $\mathit{DE}$ ，作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DE}$ 交射线 $\mathit{BA}$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，作射线 $\mathit{DF}$ 交射线 $\mathit{CA}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}=\mathit{DE}$ ；

（2）当 $\mathit{AF}=2$ 时，求 $\mathit{GE}$ 的长．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$是 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{AD}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）猜想证明：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，学生们发现： $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，可证 $\mathit{\Delta DFG}\cong \mathit{\Delta EFC}$得出结论；

思路2：过点 $E$作 $\mathit{EH}//\mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $H$，可证 $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta HEF}$得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$（只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AC}$于点 $M$，试探究线段 $\mathit{AM}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{FC}$之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{BAC}$， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=m$，请你用尺规作图在图2中作出 $\mathit{AD}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $N$（不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$的代数式直接表示 $\frac{\mathit{NF}}{\mathit{AC}}$的值．

如图1，和都是等边三角形．

探究发现

（1）与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若、、三点不在一条直线上，，，，求的长．

（3）若、、三点在一条直线上（如图，且和的边长分别为1和2，求的面积及的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $D$是 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，且 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{BAC}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$于 $F$，连接 $\mathit{FC}$．

（1）如图1．

①连接 $\mathit{BE}$，求证： $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta ADC}:$

②若 $D$是线段 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）如图2，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上，且四边形 $\mathit{CDEF}$是矩形，当 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$时，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）．

如图，在正方形中，，点在边上，连接，作于点，于点，连接、，设，，．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若点从点沿边运动至点停止，求点，所经过的路径与边围成的图形的面积．

如图，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$、交 $y$轴于点 $B$， $\angle \mathit{ABO}$的平分线交 $x$轴于点 $C$，过点 $C$作直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，交 $y$轴于点 $E$．

（1）求直线 $\mathit{CE}$的解析式；

（2）在线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $P$（不与点 $A$， $B$重合），过点 $P$分别作 $\mathit{PM}\perp x$轴， $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为点 $M$、 $N$，是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{MN}$的长最小？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图， $\mathit{BD}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}=\mathit{BC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{BE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\angle D=\angle \mathit{ABC}$ ．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，点 $E$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一直线上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ；

（2） $\mathit{ED}//\mathit{BF}$ ．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，点 $F$， $G$在直线 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{EG}$， $\angle \mathit{AEF}=\angle \mathit{BEG}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta FGE}$；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=120°$时，求证： $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{BF}$；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $F$在线段 $\mathit{BC}$上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线与 $\odot O$ 交于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长与 $\odot O$ 过点 $A$ 的切线交于点 $F$ ，记 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =60°$ ，

①直接写出 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}$ 的值为 　　；

②当 $\odot O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 　　；

（2）如图2，若 $\alpha <60°$ ，且 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{DE}=4$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长．