初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$边长是 $4\mathit{cm}$，点 $P$从点 $A$出发，沿 $A\to B\to C$的路径运动，到 $C$点停止运动，点 $Q$从点 $C$出发，在 $\mathit{BC}$延长线上向右运动，点 $P$与点 $Q$同时出发，点 $P$停止运动时，点 $Q$也停止运动，点 $P$，点 $Q$的运动速度都是 $1\mathit{cm}/s$，下列函数图象中能反映 $\mathit{\Delta PDQ}$的面积 $S\left(c{m}^2\right)$与运动时间 $t\left(s\right)$的函数关系的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，直线 $l$ 经过点 $D$ ， $\mathit{AE}\perp l$ ， $\mathit{BF}\perp l$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，则 $\mathit{AE}+\mathit{BF}$ 的最大值为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{6}$

B．

$2\sqrt{2}$

C．

$2\sqrt{3}$

D．

$3\sqrt{2}$

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

阅读理解：

问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$为底边 $\mathit{BC}$上的任意一点， $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，求证： $\mathit{PD}+\mathit{PF}$是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？

思路：我们可以将底边 $\mathit{BC}$上的任意一点 $P$移动到特殊的位置，如图②，将点 $P$移动到底边的端点 $B$处，这样，点 $P$、 $D$都与点 $B$重合，此时， $\mathit{PD}=0$， $\mathit{PE}=\mathit{BE}$，这样 $\mathit{PD}+\mathit{PE}=\mathit{BE}$．因此，在证明这一命题时，我们可以过点 $B$作 $\mathit{AC}$边上的高 $\mathit{BF}$（如图③ $)$，证明 $\mathit{PD}+\mathit{PE}=\mathit{BF}$即可．

请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：

如图④，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，一直角三角板的直角顶点 $E$在对角线 $\mathit{BD}$上运动，一条直角边始终经过点 $C$，另一条直角边与射线 $\mathit{DA}$相交于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FH}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$．

（1）试猜想 $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并加以证明；

（2）当点 $E$在 $\mathit{DB}$的延长线上运动时， $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；

（3）如图⑥所示，如果将正方形 $\mathit{ABCD}$改为矩形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ADB}=\theta$，其它条件不变，请直接写出 $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$的数量关系．

如图， $\mathit{EF}$过 $▱\mathit{ABCD}$对角线的交点 $O$，交 $\mathit{AD}$于 $E$，交 $\mathit{BC}$于 $F$，若 $▱\mathit{ABCD}$的周长为18， $\mathit{OE}=1.5$，则四边形 $\mathit{EFCD}$的周长为 $($　　 $)$

A．14B．13C．12D．10

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 为边 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折至 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内，得 $\mathit{\Delta ADC}\text{'}$ ，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，分别与边 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $O$ ．若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}\text{'}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

在① $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ ，③ $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{CD}$ 相交于点 $F$ ．若 　 ① $\mathit{AD}=\mathit{AE}($ ② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ 或 ③ $\mathit{FB}=\mathit{FC})$ 　，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

如图，点 $O$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 对角线的交点， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ，下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OE}=\mathit{OF}$

B．

$\mathit{AE}=\mathit{BF}$

C．

$\angle \mathit{DOC}=\angle \mathit{OCD}$

D．

$\angle \mathit{CFE}=\angle \mathit{DEF}$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $C(2,0)$ ，点 $B(0,4)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象上的点 $(1,n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，延长 $\mathit{CE}$， $\mathit{BA}$交于点 $F$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACDF}$是平行四边形；

（2）当 $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{BCD}$时，写出 $\mathit{BC}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}=90°$， $\angle A<\angle \mathit{ABC}$， $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DB}$， $O$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CE}$是 $\mathit{\Delta BCD}$的中线．

（1）如图 $a$，连接 $\mathit{OC}$，请直接写出 $\angle \mathit{OCE}$和 $\angle \mathit{OAC}$的数量关系：　    ；

（2）点 $M$是射线 $\mathit{EC}$上的一个动点，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得射线 $\mathit{ON}$，使 $\angle \mathit{MON}=\angle \mathit{ADB}$， $\mathit{ON}$与射线 $\mathit{CA}$交于点 $N$．

①如图 $b$，猜想并证明线段 $\mathit{OM}$和线段 $\mathit{ON}$之间的数量关系；

②若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=m$，当 $\angle \mathit{AON}=15°$时，请直接写出线段 $\mathit{ME}$的长度（用含 $m$的代数式表示）．