初中数学三角形内角和定理解答题

已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形

（1）求证：△DFB是等腰三角形；

（2）若 $\mathit{DA}＝\sqrt{7}\mathit{AF}$，求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

如图，已知 $D$， $E$分别为 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上两点，点 $A$， $C$， $E$在 $\odot D$上，点 $B$， $D$在 $\odot E$上． $F$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$上一点，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $N$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$．

（1）若 $\angle \mathit{EBD}$为 $\alpha$，请将 $\angle \mathit{CAD}$用含 $\alpha$的代数式表示；

（2）若 $\mathit{EM}=\mathit{MB}$，请说明当 $\angle \mathit{CAD}$为多少度时，直线 $\mathit{EF}$为 $\odot D$的切线；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\sqrt{3}$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{MF}}$的值．

定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

理解：

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，则 $\angle A$ 与 $\angle C$ 的度数之和为 　     　；

证明：

（2）如图1， $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AM}$ ， $\mathit{CN}$ 相交于点 $D$ ．

求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形；

探究：

（3）如图2，在对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，探究线段 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 和 $\mathit{BD}$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为直线 $\mathit{BC}$上一点， $E$为直线 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，设 $\angle \mathit{BAD}=\alpha$， $\angle \mathit{CDE}=\beta$．

（1）如图，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上．

①如果 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{ADE}=70°$，那么 $\alpha =$　　 $°$， $\beta =$　　 $°$．

②求 $\alpha$， $\beta$之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $\alpha$， $\beta$之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABD}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BD}$．在 $\mathit{BD}$的延长线上取点 $E$， $C$，作 $\mathit{\Delta AEC}$，使 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\angle \mathit{BAE}=90°$， $\angle B=45°$，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

答案： $\angle \mathit{DAC}=45°$．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，其余条件不变，那么 $\angle \mathit{DAC}$的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，再将“ $\angle \mathit{BAE}=90°$”改为“ $\angle \mathit{BAE}=n°$”，其余条件不变，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

如图，是的直径，是上一点，过点作，交的延长线于，交于点，是的中点，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）若，求证：．

如图，点 $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，连结 $\mathit{AE}$并延长，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）若 $\mathit{AD}$的长为2，求 $\mathit{CF}$的长．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$，试添加一个条件，并写出 $\angle F$的度数．

如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，求的度数．

如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分．若，，求的度数．

如图， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线，在 $\mathit{AB}$ 上取点 $D$ ，使 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ；

（2）若 $\angle A=65°$ ， $\angle \mathit{AED}=45°$ ，求 $\angle \mathit{EBC}$ 的度数．

如图，点 $C$、 $E$、 $F$、 $B$在同一直线上，点 $A$、 $D$在 $\mathit{BC}$异侧， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AE}=\mathit{DF}$， $\angle A=\angle D$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{CF}$， $\angle B=40°$，求 $\angle D$的度数．

如图，在中，，于点．

（1）若，求的度数；

（2）若点在边上，交的延长线于点．求证：．