已知抛物线顶点
，经过点
，且与直线
交于
，
两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点，
，
，满足
，求
的值；
（3）在，
之间的抛物线弧上是否存在点
满足
？若存在，求点
的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点，
，
，
之间的距离
如图①，在平面直角坐标系中，已知
，
，
，
四点，动点
以每秒
个单位长度的速度沿
运动
不与点
、点
重合），设运动时间为
（秒
．
（1）求经过、
、
三点的抛物线的解析式；
（2）点在（1）中的抛物线上，当
为
的中点时，若
，求点
的坐标；
（3）当在
上运动时，如图②．过点
作
轴，垂足为
，
，垂足为
．设矩形
与
重叠部分的面积为
，求
与
的函数关系式，并求出
的最大值；
（4）点为
轴上一点，直线
与直线
交于点
，与
轴交于点
．是否存在点
，使得
为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有
点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线为常数，
与
轴交于
，
两点，点
为抛物线的顶点，点
的坐标为
，
，连接
并延长与过
，
，
三点的
相交于点
．
（1）求点的坐标；
（2）过点作
的切线
交
轴于点
．
①如图1，求证：；
②如图2，连接，
，
，当
，
时，求
的值．
如图1，的三个顶点
、
、
分别落在抛物线
的图象上，点
的横坐标为
，点
的纵坐标为
．（点
在点
的左侧）
（1）求点、
的坐标；
（2）将绕点
逆时针旋转
得到△
，抛物线
经过
、
两点，已知点
为抛物线
的对称轴上一定点，且点
恰好在以
为直径的圆上，连接
、
，求△
的面积；
（3）如图2，延长交抛物线
于点
，连接
，在坐标轴上是否存在点
，使得以
、
、
为顶点的三角形与△
相似．若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
如图一，在射线的一侧以
为一条边作矩形
，
，
，点
是线段
上一动点（不与点
重合），连结
，过点
作
的垂线交射线
于点
，连接
．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段
的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出
的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到
的中点时，
与
的交点为
，
的中点为
，求线段
的长度．
如图，在等边中，
，动点
从点
出发以
的速度沿
匀速运动．动点
同时从点
出发以同样的速度沿
的延长线方向匀速运动，当点
到达点
时，点
、
同时停止运动．设运动时间为
．过点
作
于
，连接
交
边于
．以
、
为边作平行四边形
．
（1）当为何值时，
为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻，使点
在
的平分线上？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由；
（3）求的长；
（4）取线段的中点
，连接
，将
沿直线
翻折，得△
，连接
，当
为何值时，
的值最小？并求出最小值．
在等腰三角形中，
，作
交
于点
，
交
于点
．
（1）在图1中，求证：；
（2）在图2中的线段上取一动点
，过
作
交
于点
，作
交
于点
，求证：
；
（3）在图3中动点在线段
的延长线上，类似（2）过
作
交
的延长线于点
，作
交
的延长线于点
，求证：
．
（1）方法选择
如图①，四边形是
的内接四边形，连接
，
，
．求证：
．
小颖认为可用截长法证明：在上截取
，连接
小军认为可用补短法证明：延长至点
，使得
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
[探究1]
如图②，四边形是
的内接四边形，连接
，
，
是
的直径，
．试用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论．
[探究2]
如图③，四边形是
的内接四边形，连接
，
．若
是
的直径，
，则线段
，
，
之间的等量关系式是
．
（3）拓展猜想
如图④，四边形是
的内接四边形，连接
，
．若
是
的直径，
，则线段
，
，
之间的等量关系式是 ．
如图，四边形是正方形，
是等腰直角三角形，点
在
上，且
，
，垂足为点
．
（1）试判断与
是否相等？并给出证明；
（2）若点为
的中点，
与
垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
如图，抛物线与
轴交于
，
，
，
两点，与
轴交于点
，且
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，
，
，
是抛物线上的两点，当
，
时，均有
，求
的取值范围；
（3）抛物线上一点，直线
与
轴交于点
，动点
在线段
上，当
时，求点
的坐标．
已知二次函数的图象过点
，点
与
不重合）是图象上的一点，直线
过点
且平行于
轴．
于点
，点
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点在线段
的中垂线上；
（3）设直线交二次函数的图象于另一点
，
于点
，线段
的中垂线交
于点
，求
的值；
（4）试判断点与以线段
为直径的圆的位置关系．
在平面直角坐标系中，已知
，动点
在
的图象上运动（不与
重合），连接
．过点
作
，交
轴于点
，连接
．
（1）求线段长度的取值范围；
（2）试问：点运动的过程中，
是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点
的坐标．
如图，抛物线与
轴交于点
，点
，且
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，且
，求点
的坐标；
（3）抛物线上两点，
，点
的横坐标为
，点
的横坐标为
．点
是抛物线上
，
之间的动点，过点
作
轴的平行线交
于点
．
①求的最大值；
②点关于点
的对称点为
，当
为何值时，四边形
为矩形．
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点
和点
．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点是抛物线上
、
之间的一点，过点
作
轴于点
，
轴，交抛物线于点
，过点
作
轴于点
，当矩形
的周长最大时，求点
的横坐标；
（3）如图2，连接、
，点
在线段
上（不与
、
重合），作
，
交线段
于点
，是否存在这样点
，使得
为等腰三角形？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
粤公网安备 44130202000953号
