初中数学三角形试题

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．

如图，将正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{PQ}$ 折叠，使点 $C$ 的对称点 $E$ 落在边 $\mathit{AB}$ 上，点 $D$ 的对称点为点 $F$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CG}$ 交 $\mathit{PQ}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．下列四个结论中：① $\mathit{\Delta PBE}~\mathit{\Delta QFG}$ ；② $S_{\mathit{\Delta CEG}}=S_{\mathit{\Delta CBE}}+S_{\mathit{四边形}\mathit{CDQH}}$ ；③ $\mathit{EC}$ 平分 $\angle \mathit{BEG}$ ；④ $E{G}^2-C{H}^2=\mathit{GQ}\cdot \mathit{GD}$ ，正确的是 　　（填序号即可）．

如图，在边长为 $6\sqrt{3}$ 的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 中，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，其中点 $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{CF}$ 上的动点．若以 $M$ ， $N$ ， $D$ 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　　．

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $\mathit{BC}=2$，使用作图工具作 $\angle \mathit{BAC}=30°$，尝试操作后思考： （1）这样的点 $A$唯一吗？ （2）点 $A$的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$的位置不唯一，它在以 $\mathit{BC}$为弦的圆弧上（点 $B$、 $C$除外）， $\dots$．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为 　　；

② $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值为 　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A\text{'}$，请你根据图1证明 $\angle \mathit{BA}\text{'}C>30°$．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的边长 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在直线 $\mathit{CD}$的左侧，且 $\tan \angle \mathit{DPC}=\frac{4}{3}$．

①线段 $\mathit{PB}$长的最小值为 　　；

②若 $S_{\mathit{\Delta PCD}}=\frac{2}{3}{S}_{\mathit{\Delta PAD}}$，则线段 $\mathit{PD}$长为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AE}$ ，将 $\mathit{\Delta ECF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 翻折得△ $\mathit{EC}\text{'}F$ ，连接 $\mathit{AC}\text{'}$ ，当 $\mathit{BE}=$ 　　时， $\mathit{\Delta AEC}\text{'}$ 是以 $\mathit{AE}$ 为腰的等腰三角形．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle A=90°$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=8$ ，点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内一点，则 $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$ 取得最小值时，下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三边垂直平分线的交点
B．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条内角平分线的交点
C．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条高的交点
D．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条中线的交点

已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEFG}$ ，正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 旋转一周．

（1）如图①，连接 $\mathit{BG}$ 、 $\mathit{CF}$ ，求 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{BG}}$ 的值；

（2）当正方形 $\mathit{AEFG}$ 旋转至图②位置时，连接 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ ，分别取 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ 的中点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ 、试探究： $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BE}$ 的关系，并说明理由；

（3）连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ ，分别取 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ 的中点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $\mathit{QN}$ ， $\mathit{AE}=6$ ，请直接写出线段 $\mathit{QN}$ 扫过的面积．

如图，射线 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{ON}$ 互相垂直， $\mathit{OA}=8$ ，点 $B$ 位于射线 $\mathit{OM}$ 的上方，且在线段 $\mathit{OA}$ 的垂直平分线 $l$ 上，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AB}=5$ ．把线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转得到对应线段 $A\text{'}B\text{'}$ ，若点 $B\text{'}$ 恰好落在射线 $\mathit{ON}$ 上，则点 $A\text{'}$ 到射线 $\mathit{ON}$ 的距离 $d=$ 　　．

如图，将 $▱\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $▱A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ 的位置，使点 $B\text{'}$ 落在 $\mathit{BC}$ 上， $B\text{'}C\text{'}$ 与 $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ．若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{BB}\text{'}=1$ ，则 $\mathit{CE}$ 的长为 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，线段 $\mathit{MN}$ 在对角线 $\mathit{BD}$ 上运动，若 $\odot O$ 的面积为 $2\pi$ ， $\mathit{MN}=1$ ，则 $\mathit{\Delta AMN}$ 周长的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，对于 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点，若在 $y$ 轴上存在点 $T$ ，使得 $\angle \mathit{ATA}\text{'}=90°$ ，且 $\mathit{TA}=\mathit{TA}\text{'}$ ，则称 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 $M(-2,0)$ 、 $N(-1,0)$ ，点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y=-2x+1$ 的图象上．

（1）①如图，在点 $B(2,0)$ 、 $C(0,-1)$ 、 $D(-2,-2)$ 中，点 $M$ 的关联点是 　 $B$ 　（填" $B$ "、" $C$ "或" $D$ " $)$ ；

②若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P\text{'}$ ，则点 $P\text{'}$ 的坐标是 　　；

（2）若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q\text{'}$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）分别以点 $E(4,2)$ 、 $Q$ 为圆心，1为半径作 $\odot E$ 、 $\odot Q$ ．若对 $\odot E$ 上的任意一点 $G$ ，在 $\odot Q$ 上总存在点 $G\text{'}$ ，使得 $G$ 、 $G\text{'}$ 两点互相关联，请写出点 $Q$ 的坐标．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CBA}=30°$ ， $\mathit{AC}=1$ ， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 不重合）．若在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点 $A$ 、 $D$ 成为直角三角形的三个顶点，则 $\mathit{AD}$ 长的取值范围是 　　．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ， $\mathit{CD}$ 是斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $\mathit{BC}$ 上一点，将 $\mathit{\Delta BDE}$ 沿 $\mathit{DE}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

（1）若 $\mathit{AB}=a$ ．直接写出 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $\mathit{CE}$ 的异侧，连接 $\mathit{CF}$ ，如②，判断四边形 $\mathit{ADFC}$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ ，直接写出 $\angle \mathit{BDE}$ 的度数．

实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将正方形纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的内部，点 $B$ 的对应点为点 $M$ ，折痕为 $\mathit{AE}$ ，再将纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{AM}$ 重合，折痕为 $\mathit{AF}$ ，则 $\angle \mathit{EAF}=$ 　　度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿 $\mathit{EF}$ 继续折叠，点 $C$ 的对应点为点 $N$ ．我们发现，当点 $E$ 的位置不同时，点 $N$ 的位置也不同．当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边的某一位置时，点 $N$ 恰好落在折痕 $\mathit{AE}$ 上，则 $\angle \mathit{AEF}=$ 　　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设 $\mathit{AM}$ 与 $\mathit{NF}$ 的交点为点 $P$ ．求证： $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta FNE}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ，则线段 $\mathit{AP}$ 的长为 　　．

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．