初中数学二次函数综合题试题

如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以 $\sqrt{2}$个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

如图1，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．

（1）求二次函数y＝﹣x²+bx+c的表达式；

（2）连接BC，当 $t=\frac{5}{6}$时，求△BCP的面积；

（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．

已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若 $-1⩽a⩽-\frac{1}{2}$，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

如图，抛物线 $C_1:y=-\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{3}x$的顶点为，与轴的正半轴交于点．

（1）将抛物线上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；

（2）将抛物线上的点变为，，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为，点在抛物线上，满足，且．

①当时，求的值；

②当时，请直接写出的值，不必说明理由．

如图，抛物线 $C_1:y=-\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{3}x$的顶点为，与轴的正半轴交于点．

（1）将抛物线上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；

（2）将抛物线上的点变为，，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为，点在抛物线上，满足，且．

①当时，求的值；

②当时，请直接写出的值，不必说明理由．

如图1，已知抛物线 $l_1:y=-\frac{1}{2}{x}^2+x+3$与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，点，到直线的距离相等．

（1）求直线的表达式；

（2）将直线向下平移 $\frac{5}{2}$个单位，平移后的直线与抛物线交于点，（如图，判断直线是否平分线段，并说明理由；

（3）已知抛物线，，为常数）和直线有两个交点，，对于任意满足条件的，线段都能被直线平分，请直接写出与，之间的数量关系．

已知抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与轴交于点，与轴的两个交点分别为，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点在抛物线上，连接，，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标；

（3）已知点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知，抛物线经过原点，顶点为，．

（1）当，时，求抛物线的解析式；

（2）若抛物线也经过点，求与之间的关系式；

（3）当点在抛物线上，且时，求的取值范围．

如图，抛物线 经过点 ， ，交 轴于点 ；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点 为 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 使 $S_{\text{Δ}\mathit{ABC}}=\frac{2}{3}{S}_{\text{Δ}\mathit{ABD}}$ ？若存在请直接给出点 坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线 绕点 顺时针旋转 ，与抛物线交于另一点 ，求 的长．

如图，抛物线y＝ax²+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y＝﹣x+4交抛物线于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；

（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C

（1）直接写出抛物线的函数解析式；

（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；

（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线y＝ax²+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将抛物线y＝ax²+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y＝|ax²+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）

附阅读材料：

1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点间的距离为 $\left|\mathit{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$，这个公式叫两点间距离公式．

例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为 $\left|\mathit{AB}\right|=\sqrt{{(-1-2)}^2+{(2+2)}^2}=5$．

2．因式分解：x⁴+2x²y²+y⁴＝（x²+y²）²．

如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y＝ax²+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求AD的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．