初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，点 $A$， $B$在 $x$轴上，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B$， $D(-4,5)$两点，且与直线 $\mathit{DC}$交于另一点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$为抛物线对称轴上一点， $Q$为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$， $F$， $E$， $B$为顶点的四边形是以 $\mathit{BE}$为边的菱形．若存在，请求出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $P$为 $y$轴上一点，过点 $P$作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$，连接 $\mathit{ME}$， $\mathit{BP}$，探究 $\mathit{EM}+\mathit{MP}+\mathit{PB}$是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$ ，顶点是 $(-1,m)$ ，则以下结论：① $\mathit{abc}>0$ ；② $4a+2b+c>0$ ；③若 $y⩾c$ ，则 $x⩽-2$ 或 $x⩾0$ ；④ $b+c=\frac{1}{2}m$ ．其中正确的有 $($ 　　 $)$ 个．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图，直线 $y=-\frac{3}{2}x+6$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，点 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $Q$是线段 $\mathit{OA}$上一动点（不与点 $O$、 $A$重合）．

（1）请直接写出点 $A$、点 $B$、点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{PQ}$，在第一象限内将 $\mathit{\Delta OPQ}$沿 $\mathit{PQ}$翻折得到 $\mathit{\Delta EPQ}$，点 $O$的对应点为点 $E$．若 $\angle \mathit{OQE}=90°$，求线段 $\mathit{AQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y=a{x}^2-2a^{2}x+a^3+a+1(a\ne 0)$的顶点为点 $C$．

①若点 $C$在 $\mathit{\Delta PQE}$内部（不包括边），求 $a$的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$，使 $|\mathit{CQ}-\mathit{CE}|$最大？若存在，请直接写出点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象的一部分如图所示．已知图象经过点 $(-1,0)$ ，其对称轴为直线 $x=1$ ．下列结论：

① $\mathit{abc}<0$ ；

② $4a+2b+c<0$ ；

③ $8a+c<0$ ；

④若抛物线经过点 $(-3,n)$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c-n=0(a\ne 0)$ 的两根分别为 $-3$ ，5．

上述结论中正确结论的个数为 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$，点 $B(1,0)$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$．直线 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $N$是抛物线上的一点，当 $\mathit{\Delta BDN}$是以 $\mathit{DN}$为腰的等腰三角形时，求点 $N$的坐标；

（3）点 $F$为线段 $\mathit{AE}$上的一点，点 $G$为线段 $\mathit{OA}$上的一点，连接 $\mathit{FG}$，并延长 $\mathit{FG}$与线段 $\mathit{BD}$交于点 $H$（点 $H$在第一象限），当 $\angle \mathit{EFG}=3\angle \mathit{BAE}$且 $\mathit{HG}=2\mathit{FG}$时，求出点 $F$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P$、 $Q$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似，请直接写出点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于原点 $O$和点 $A$，且其顶点 $B$关于 $x$轴的对称点坐标为 $(2,1)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$，使得抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上的任意一点 $G$到定点 $F$的距离与点 $G$到直线 $y=-2$的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$的坐标；

②过点 $F$的直线 $l$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $M$， $N$两点．

证明：当直线 $l$绕点 $F$旋转时， $\frac{1}{\mathit{MF}}+\frac{1}{\mathit{NF}}$是定值，并求出该定值；

（3）点 $C(3,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQBC}$周长最小，直接写出 $P$， $Q$的坐标．

已知函数 $y=a{x}^2-(a+1)x+1$ ，则下列说法不正确的个数是 $($ 　　 $)$

①若该函数图像与 $x$ 轴只有一个交点，则 $a=1$ ；

②方程 $a{x}^2-(a+1)x+1=0$ 至少有一个整数根；

③若 $\frac{1}{a}<x<1$ ，则 $y=a{x}^2-(a+1)x+1$ 的函数值都是负数；

④不存在实数 $a$ ，使得 $a{x}^2-(a+1)x+1⩽0$ 对任意实数 $x$ 都成立．

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}$与直线 $y=-x+b$相交于点 $A(2,0)$和点 $B$．

（1）求 $m$和 $b$的值；

（2）求点 $B$的坐标，并结合图象写出不等式 $x^2+\mathit{mx}>-x+b$的解集；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，将点 $M$向左平移3个单位长度得到点 $N$，若线段 $\mathit{MN}$与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$的横坐标 $x_M$的取值范围．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$、点 $C$的坐标为 $(0,3)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为 $P$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）如图2，有两动点 $D$、 $E$在 $\mathit{\Delta COB}$的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点 $C$和点 $B$同时出发，点 $D$沿折线 $\mathit{COB}$按 $C\to O\to B$方向向终点 $B$运动，点 $E$沿线段 $\mathit{BC}$按 $B\to C$方向向终点 $C$运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，请解答下列问题：

①当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BDE}$的面积等于 $\frac{33}{10}$；

②在点 $D$、 $E$运动过程中，该抛物线上存在点 $F$，使得依次连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{FE}$、 $\mathit{EA}$得到的四边形 $\mathit{ADFE}$是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 $F$的坐标．

已知直线 $y=\mathit{kx}+2$ 过一、二、三象限，则直线 $y=\mathit{kx}+2$ 与抛物线 $y=x^2-2x+3$ 的交点个数为 $($ 　　 $)$

A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

1个或2个

如图，抛物线 $y＝a{x}^2﹣2x+c（a\ne 0）$与x轴交于 $A、B（3，0）$两点，与y轴交于点 $C（0\mathit{，﹣}3）$，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与 $△\mathit{BCD}$相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的函数图象经过点 $(1,2)$，且与 $x$轴交点的横坐标分别为 $x_1$、 $x_2$，其中 $-1<x_1<0$， $1<x_2<2$，下列结论：① $\mathit{abc}>0$；② $2a+b<0$；③ $4a-2b+c>0$；④当 $x=m(1<m<2)$时， $a{m}^2+\mathit{bm}<2-c$；⑤ $b>1$，其中正确的有 　　．（填写正确的序号）

如图，抛物线 $L_1：y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$ 与 x轴只有一个公共点 $A（1，0）$ ，与 y轴交于点 $B（0，2）$ ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L ₂，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．