初中数学二次函数的性质试题

已知抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+4a+1(a\ne 0)$过点 $A(m,3)$， $B(n,3)$两点，若线段 $\mathit{AB}$的长不大于4，则代数式 $a^2+a+1$的最小值是　    　．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a>0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $(A$在 $B$左侧，且 $\mathit{OA}<\mathit{OB})$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求 $C$点坐标，并判断 $b$的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，已知 $\mathit{DC}:\mathit{CA}=1:2$，直线 $\mathit{BD}$与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

①若 $\mathit{\Delta BCE}$的面积为8，求二次函数的解析式；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$为锐角三角形，请直接写出 $\mathit{OA}$的取值范围．

如图，二次函数 $y=a{(x+1)}^2+k$的图象与 $x$轴交于 $A(-3,0)$， $B$两点，下列说法错误的是 $($　　 $)$

A． $a<0$B．图象的对称轴为直线 $x=-1$

C．点 $B$的坐标为 $(1,0)$D．当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而增大

已知二次函数 $y=a{x}^2-4\mathit{ax}+c(a<0)$的图象与它的对称轴相交于点 $A$，与 $y$轴相交于点 $C(0,-2)$，其对称轴与 $x$轴相交于点 $B$

（1）若直线 $\mathit{BC}$与二次函数的图象的另一个交点 $D$在第一象限内，且 $\mathit{BD}=\sqrt{2}$，求这个二次函数的表达式；

（2）已知 $P$在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta POA}$为等腰三角形，若符合条件的点 $P$恰好有2个，试直接写出 $a$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数图象的顶点坐标为 $(4,-3)$，该图象与 $x$轴相交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴相交于点 $C$，其中点 $A$的横坐标为1．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求 $\tan \angle \mathit{ABC}$．

已知：二次函数 $y=x^2-4x+3a+2(a$为常数）．

（1）请写出该二次函数的三条性质；

（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 $x⩽4$的部分与一次函数 $y=2x-1$的图象有两个交点，求 $a$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $L_1:y=x^2+\mathit{bx}+c$过点 $C(0,-3)$，与抛物线 $L_2:y=-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+2$的一个交点为 $A$，且点 $A$的横坐标为2，点 $P$、 $Q$分别是抛物线 $L_1$、 $L_2$上的动点．

（1）求抛物线 $L_1$对应的函数表达式；

（2）若以点 $A$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 $P$的坐标；

（3）设点 $R$为抛物线 $L_1$上另一个动点，且 $\mathit{CA}$平分 $\angle \mathit{PCR}$．若 $\mathit{OQ}//\mathit{PR}$，求出点 $Q$的坐标．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $D$为顶点，其中点 $B$的坐标为 $(5,0)$，点 $D$的坐标为 $(1,3)$．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上的一点，过点 $E$作 $x$轴的垂线，垂足为 $F$，且 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$，求点 $E$的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点 $G$，使得 $\mathit{\Delta ADG}$的面积是 $\mathit{\Delta BDG}$的面积的 $\frac{3}{5}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $D$为 $\mathit{OC}$的中点，点 $P$在抛物线上．

（1） $b=$　      　；

（2）若点 $P$在第一象限，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp x$轴，垂足为 $H$， $\mathit{PH}$与 $C$、 $\mathit{BD}$分别交于点 $M$、 $N$．是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}=\mathit{MN}=\mathit{NH}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$的横坐标小于3，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $Q$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴交于点 $R$，且 $S_{\mathit{\Delta PQB}}=2S_{\mathit{\Delta QRB}}$，求点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y_1=-x^2+4x$和直线 $y_2=2x$．我们规定：当 $x$取任意一个值时， $x$对应的函数值分别为 $y_1$和 $y_2$，若 $y_1\ne y_2$，取 $y_1$和 $y_2$中较小值为 $M$；若 $y_1=y_2$，记 $M=y_1=y_2$．①当 $x>2$时， $M=y_2$；②当 $x<0$时， $M$随 $x$的增大而增大；③使得 $M$大于

4的 $x$的值不存在；④若 $M=2$，则 $x=1$．上述结论正确的是　    　（填写所有正确结论的序号）．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $(-1,0)$，且对称轴为直线 $x=1$，有下列结论：

① $\mathit{abc}<0$；② $10a+3b+c>0$；③抛物线经过点 $(4,y_1)$与点 $(-3,y_2)$，则 $y_1>y_2$；④无论 $a$， $b$， $c$取何值，抛物线都经过同一个点 $(-\frac{c}{a}$， $0)$；⑤ $a{m}^2+\mathit{bm}+a⩾0$，其中所有正确的结论是　      　．

已知不等式 $\mathit{ax}+b>0$的解集为 $x<2$，则下列结论正确的个数是 $($　　 $)$

（1） $2a+b=0$；

（2）当 $c>a$时，函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴没有公共点；

（3）当 $c>0$时，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点在直线 $y=\mathit{ax}+b$的上方；

（4）如果 $b<3$且 $2a-\mathit{mb}-m=0$，则 $m$的取值范围是 $-\frac{3}{4}<m<0$．

A．1B．2C．3D．4

关于二次函数 $y=x^2+2x-8$，下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．图象的对称轴在 $y$轴的右侧

B．图象与 $y$轴的交点坐标为 $(0,8)$

C．图象与 $x$轴的交点坐标为 $(-2,0)$和 $(4,0)$

D． $y$的最小值为 $-9$

如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$分别是“蛋圆”与坐标轴的交点， $\mathit{AB}$为半圆的直径，且抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$，则半圆圆心 $M$的坐标为　　．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(3,0)$、点 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求拋物线的解析式；

（2）过点 $D(0,3)$作直线 $\mathit{MN}//x$轴，点 $P$在直线 $\mathit{MN}$上且 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=S_{\mathit{\Delta DBC}}$，直接写出点 $P$的坐标．