初中数学一元二次方程解答题

某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

小敏与小霞两位同学解方程 $3(x-3)={(x-3)}^2$的过程如下框：

小敏： 两边同除以 $(x-3)$，得 $3=x-3$， 则 $x=6$．

小霞： 移项，得 $3(x-3)-{(x-3)}^2=0$， 提取公因式，得 $(x-3)(3-x-3)=0$． 则 $x-3=0$或 $3-x-3=0$， 解得 $x_1=3$， $x_2=0$．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“ $\surd$”；若错误请在框内打“ $\times$”，并写出你的解答过程．

阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x=a$的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 $--$转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^3+x^2-2x=0$，可以通过因式分解把它转化为 $x(x^2+x-2)=0$，解方程 $x=0$和 $x^2+x-2=0$，可得方程 $x^3+x^2-2x=0$的解．

（1）问题：方程 $x^3+x^2-2x=0$的解是 $x_1=0$， $x_2=$　　， $x_3=$　　；

（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2x+3}=x$的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪 $\mathit{ABCD}$的长 $\mathit{AD}=8m$，宽 $\mathit{AB}=3m$，小华把一根长为 $10m$的绳子的一端固定在点 $B$，沿草坪边沿 $\mathit{BA}$， $\mathit{AD}$走到点 $P$处，把长绳 $\mathit{PB}$段拉直并固定在点 $P$，然后沿草坪边沿 $\mathit{PD}$、 $\mathit{DC}$走到点 $C$处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$．求 $\mathit{AP}$的长．

温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排 $x$人生产乙产品．

（1）根据信息填表：

产品种类	每天工人数（人 $)$	每天产量（件 $)$	每件产品可获利润（元 $)$
甲			15
乙	$x$	$x$

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．

（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润 $W$（元 $)$的最大值及相应的 $x$值．

某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为 $x$元 $(x$为正整数），每个月的销售利润为 $y$元．

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有 $A$ ， $B$ 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	$A$	$B$	$A$ 和     $B$
门票价格	100元     $/$ 人	80元     $/$ 人	160元     $/$ 人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-5x+2m=0$有实数根．

（1）求 $m$的取值范围；

（2）当 $m=\frac{5}{2}$时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．

在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．

用点A₁、A₂、A₃…A₄₈分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为　　，第五个图中y的值为　　．

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　 　，当 $x＝48$时，对应的y＝　   　．

（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

某公司投入研发费用80万元 $(80$万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量 $=$销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元 $/$件．此产品年销售量 $y$（万件）与售价 $x$（元 $/$件）之间满足函数关系式 $y=-x+26$．

（1）求这种产品第一年的利润 $W_1$（万元）与售价 $x$（元 $/$件）满足的函数关系式；

（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元 $(20$万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元 $/$件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润 $W_2$至少为多少万元．

列方程（组 $)$解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量 $y$（单位：台）和销售单价 $x$（单位：万元）成一次函数关系．

（1）求年销售量 $y$与销售单价 $x$的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）

（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到 $1\%)$

（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到 $1\%)$

列方程解应用题：

某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

工人师傅用一块长为 $10\mathit{dm}$，宽为 $6\mathit{dm}$的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 $12d{m}^2$时，裁掉的正方形边长多大？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并在容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？