高中数学随机思想的发展试题

（本小题满分13分）设集合，从S的所有非空子集中，等可能地取出一个.
（1）设，若，则，就称子集A满足性质，求所取出的非空子集满足性质的概率；
（2）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望.

（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

（本题满分12分 ）设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为。
（1）定义：横、纵坐标均为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；
（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望。

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

（1）求PM2.5日均值在75微克/立方米以下的平均数与中位数；
（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；

某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、， 且通过各次测试的事件相互独立．
（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；
（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p₁，第二项能通过的概率为p₂，第三项能通过的概率为p₃，设他通过海选时参加测试的次数为，求的分布列和期望（用p₁、p₂、p₃表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）
(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.

2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是，从空中抵达灾区的概率是．
（1）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；
（2）求在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望.

某电视台“挑战60秒”活动规定上台演唱:

(I)连续达到60秒可转动转盘(转盘为八等分圆盘)一次进行抽奖,达到90秒可转两次,达到120秒可转三次(奖金累加).
(II)转盘指针落在I、II、III区依次为一等奖(500元)、二等奖(200元)、三等奖(100元),落在其它区域不奖励.
(III)演唱时间从开始到三位评委中至少1人呜啰为止,现有一演唱者演唱时间为100秒.
(1)求此人中一等奖的概率;
(2)设此人所得奖金为,求的分布列及数学期望.

（本小题满分13分）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数，，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为．
（1）用表示“”这一事件，求事件的概率；
（2）设复数的实部为，求的分布列及数学期望．

某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．
(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；
(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天都不通过检查的得0分，两天中只通过一天检查的得1分，两天都通过检查的得2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域 $A,B$，乙被划分为两个不相交的区域 $C,D$.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 $C$上记3分，在 $D$上记1分，其它情况记0分.对落点在 $A$上的来球，队员小明回球的落点在 $C$上的概率为 $\frac{1}{2}$，在 $D$上的概率为 $\frac{1}{3}$；对落点在 $B$上的来球，小明回球的落点在 $C$上的概率为 $\frac{1}{5}$，在 $D$上的概率为 $\frac{3}{5}$.假设共有两次来球且落在 $A,B$上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 $\xi$的分布列与数学期望.

随机将 $1,2,\cdots ,2n\left(n\in N^{*},n\ge 2\right)$这 $2n$个连续正整数分成 $A,B$两组，每组 $n$个数， $A$组最小数为 $a_1$，最大数为 $a_2$； $B$组最小数为 $b_1$，最大数为 $b_2$，记 $\xi =a_2-a_1,\eta =b_2-b_1$

（1）当 $n=3$时，求 $\xi$的分布列和数学期望；
（2）令 $C$表示事件 $\xi$与 $\eta$的取值恰好相等，求事件 $C$发生的概率 $P\left(C\right)$；
（3）对（2）中的事件 $C$, $\overline{C}$表示 $C$的对立事件，判断 $P\left(C\right)$和 $P\left(\overline{C}\right)$的大小关系，并说明理由。

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成,道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

（本小题满分12分）为了解高一年级学生的基本数学素养，某中学特地组织了一次数学基础知识竞赛，随机抽取统测成绩得到一样本.其分组区间和频数是： ，；，；，；，； [90，100]，. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题.

（1）求样本的人数及x的值；
（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中的矩形的高；
（3）从成绩不低于分的样本中随机选取人，该人中成绩在分以上（含分）的人数记为，求的分布列及其数学期望.