高中数学空间向量的应用解答题

如图在长方体中，，点在棱上移动．

（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为．

如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，， ，分别为，的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

（本小题满分15分）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．

（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

如图，已知平面为等
边三角形.

（Ⅰ）求证:平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

已知四棱锥中，底面ABCD为的菱形，平面ABCD，点Q在直线PA上.

（Ⅰ）证明：直线QC直线BD；
（Ⅱ）若二面角的大小为，点M为BC的中点，求直线QM与AB所成角的余弦值.

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离．

（本小题满分12分）如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：面平面．

如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,线段AC、A₁B上分别有一点E、F且满足．

（1）求证：；
（2）求点的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值。

四棱锥如图放置，，，，
，为等边三角形．

（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

如图，在正四棱台中，，，，、分别是、的中点.

（Ⅰ）求证：平面∥平面；
（Ⅱ）求证：平面.
注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E为PA的中点．

（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

如图，四边形 $ABCD$为菱形， $\angle ABC$=120°， $E,F$是平面 $ABCD$同一侧的两点， $BE$⊥平面 $ABCD$， $DE$⊥平面 $ABCD$， $BE=2DE$， $AE\perp EC$.

（Ⅰ）证明：平面 $AEC$⊥平面 $AFC$；
（Ⅱ）求直线 $AE$与直线 $CF$所成角的余弦值.

如图,已知 $A{A}_1\perp \mathrm{平面}ABC$, $B{B}_1//A{A}_1$, $AB=AC=3$ $BC=2\sqrt{5}$, $A{A}_1=\sqrt{7}$, $B{B}_1=2\sqrt{7}$,点 $E,F$分别是 $BC,A_{1}C$的中点.

（Ⅰ）求证: $EF//\mathrm{平面}{A}_1{B}_{1}BA$;
（Ⅱ）求证:平面 $AE{A}_1\perp \mathrm{平面}BC{B}_1$.
（Ⅲ）求直线 $A_1{B}_1$ 与平面 $BC{B}_1$所成角的大小.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F,G,H$标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $BEG$与平面 $ACH$的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $DF\perp$平面 $BEG$.

如图 ，在直角梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ， $\angle BAD=\frac{\pi }{2}$ ， $AB=BC=1$ ， $AD=2$ ， 是 $AD$ 的中点， $O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点．将 $△ABE$ 沿 $BE$ 折起到 $△A_{1}BE$ 的位置，如图 ．

（Ⅰ）证明： $CD\perp$ 平面 $A_{1}OC$ ；
（Ⅱ）若平面 $A_{1}BE\perp$ 平面 $BCDE$ ，求平面 $A_{1}BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 夹角的余弦值．