高中数学空间向量的应用试题

已知四棱锥，面,∥,,，,,为上一点,是平面与的交点.

（1）求证：∥；
（2）求证：面；
（3）求与面所成角的正弦值.

如下图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAC=90°．将△ACD沿AC折起，使得BD=．在三棱锥D-ABC的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（    ）

A．面ABD⊥面BCD	B．面ABD⊥面ACD
C．面ABC⊥面ACD	D．面ABC⊥面BCD

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且为等腰直角三角形，，、分别为、的中点.

（1）求证：//平面 ；
（2）若线段中点为,求二面角的余弦值.

已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）设为中点，在棱上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

如图所示，矩形中，，，，且，交于点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

（本小题满分15分）如图，三棱柱中，，，．

（Ⅰ） 证明：；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，试求二面角的余弦值．

如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.

（1）求证：平面PQB；
（2）点M在线段PC上，，试确定t的值，使平面MQB.

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁－EC－D的大小为．

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面；
（2）平面．

如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A₁C₁与A₁B的中点．

（Ⅰ）求证：MN平面BCC₁B₁;
（Ⅱ）求证：平面A₁BC平面A₁ABB₁．

棱柱的所有棱长都为2，，平面⊥平面，．

（1）证明：；
（2）求锐二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使得∥平面，若存在求出的位置．

（本小题满分12分）如图，正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长是底面边长为倍，为底面对角线的交点，为侧棱上的点．

（1）求证：；
（2）为的中点，若平面，求证：平面．

（本小题满分13分）
如图5，已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，是直径，，平面，点是的中点.

（1）求二面角的余弦值.
（2）求点到平面的距离.