高中数学空间向量的应用试题

如图，菱形的边长为6，．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：面；
（2）求到平面的距离．

（如图1）在平面四边形中，为中点，，，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论．

如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．

（Ⅰ）点是直线中点，证明平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

（本小题满分14分）在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点．

（1）求证：//平面；
（2）求证：平面平面．

如图，底面为直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

如图，在三棱锥中，底面，，为的中点， 为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面成角的正弦值；
（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值.

如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.

（1）求证：平面PQB；
（2）点M在线段PC上，，试确定t的值，使平面MQB.

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁－EC－D的大小为．

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面；
（2）平面．

如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A₁C₁与A₁B的中点．

（Ⅰ）求证：MN平面BCC₁B₁;
（Ⅱ）求证：平面A₁BC平面A₁ABB₁．

棱柱的所有棱长都为2，，平面⊥平面，．

（1）证明：；
（2）求锐二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使得∥平面，若存在求出的位置．

（本小题满分12分）如图，正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长是底面边长为倍，为底面对角线的交点，为侧棱上的点．

（1）求证：；
（2）为的中点，若平面，求证：平面．

（本小题满分13分）
如图5，已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，是直径，，平面，点是的中点.

（1）求二面角的余弦值.
（2）求点到平面的距离.

如图，长方体中，为中点.

（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
（3）若二面角的大小为，求的长.