江苏省盐城市高三第三次模拟考试数学试卷

已知集合，集合，则       ．

若复数是纯虚数，其中为实数，为虚数单位，则的共轭复数      ．

根据如图所示的伪代码，则输出的的值为       ．

若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为       ．

某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1， 2， …， 840随机编号， 则抽取的42人中， 编号落入区间[61， 120]的人数为       ．

某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为       ．

若满足约束条件， 则目标函数的最大值为       ．

已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为       ．

若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为       ．

动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为       ．

若函数，则是函数为奇函数的       条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

在边长为1的菱形中，，若点为对角线上一点，则的最大值为       ．

设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为       ．

若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为       ．

（本小题满分14分）已知，，记函数．
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值．

（本小题满分14分）在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点．

（1）求证：//平面；
（2）求证：平面平面．

（本小题满分14分）某地拟建一座长为米的大桥，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩、造价总共为万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为万元．

（1）试将桥的总造价表示为的函数；
（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩、除外）应建多少个桥墩？

（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点．当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为．

（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；
（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

（本小题满分16分）设函数，．
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．

（本小题满分16分）设函数（其中），且存在无穷数列，使得函数在其定义域内还可以表示为．
（1）求（用表示）；
（2）当时，令，设数列的前项和为，求证：；
（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式．

（选修4—1：几何证明选讲）
在中，已知是的平分线，的外接圆交于点．若，，求的长．

（选修4—2：矩阵与变换）
若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵的逆矩阵．

（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），试判断直线与曲线的位置关系，并说明理由．

（选修4-5：不等式选讲）
已知为正实数，求证：，并求等号成立的条件．

（本小题满分10分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值．

（本小题满分10分）设．
（1）若数列的各项均为1，求证：；
（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列．