高中数学数列综合试题

设常数 $a>0$， ${\left(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^4$展开式中 $x^3$的系数为 $\frac{3}{2}$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}\left(a+a^2+\cdots +a^n\right)=$。

$\left\{a_n\right\}$是等差数列， $a_1+a_2=4,a_1+a_8=28$，则该数列前10项和 $S_{10}$等于（）

A．

64

B．

100

C．

110

D．

120

已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）

A．

B．1

C．2

D．3

等差数列 $\left\{a_n\right\}$的各项均为正数， $a_1=3$，前 $n$项和为 $S_n$， $\left\{b_n\right\}$为等比数列, $b_1=1$，且 $b_2{S}_2=64$, $b_3{S}_3=960$．
(1)求 $a_n$与 $b_n$；

(2)求和： $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+...+\frac{1}{S_n}$．

等差数列中，，，其前项和，则（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

已知数列和满足：，，
（1）若数列前三项成等差数列，求的值
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论
（3）设，为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由

若等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前5项和 $S_5=25$,且 $a_2=3$,则 $a_7=$（）

A．

12

B．

13

C．

14

D．

15

已知等差数列1，，等比数列3，，则该等差数列的公差为

A．3或

B．3或

C．3

D．

已知等差数列的前n项和为，若，则等于

A．18	B．36
C．54	D．72

数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则数列的公比为

A．

B．4

C．2

D．

在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为

A．24

B．39

C．52

D．104-

已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足。若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：
①;②③④中有可能成立的个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

在数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$中， $a_1=1,b_1=4$，数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $n{S}_{n+1}-（n+3)S_n=0,2a_{n+1}$为 $b_n$与 $b_{n+1}$的等比中项， $n\in N^{*}$.
（Ⅰ）求 $a_2,b_2$的值；
（Ⅱ）求数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅲ）设 $T_n=(-1{)}^{a_1}{b}_1+(-1{)}^{a_2}{b}_2+...+(-1{)}^{a_n}{b}_n,n\in N^{*}$.证明 $\left|T_n\right|<2n^2,n\ge 3$.

已知 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $a_1+a_2=4,a_1+a_8=28$，则该数列前10项和 $S_{10}$等于（）

A．

64

B．

100

C．

110

D．

120

观察下列等式：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n \\ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum i^2}}=\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n, \\ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum i^3}}=\frac{1}{4}{n}^2+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{4}{n}^2, \end{gathered}$$

$\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{1}{5}{n}^4+\frac{1}{2}{n}^4+\frac{1}{3}{n}^3-\frac{1}{30}n,$

$\frac{2}{3}{a}_n+n-4,b_n={\left(-1\right)}^n\left(a_n-3n+21\right),$……………………………………
$\sum _{i=1}^n{i}^n=a_{k+1}{n}^{k+2}+a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+a_{k-2}{n}^{k-2}+\dots +a_{1}n+a_0,$可以推测，当 $x\ge 2\left(k\in N^{*}\right)$时， $a_{k+1}=\frac{1}{k+1},a_k=\frac{1}{2},a_{k-1}=$， $a_{k-2}$=。