设常数 $a>0$， ${\left(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^4$展开式中 $x^3$的系数为 $\frac{3}{2}$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}\left(a+a^2+\cdots +a^n\right)=$。