初中数学平行线分线段成比例试题

如图，函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k>0)$的图象与过原点的 $O$的直线相交于 $A$， $B$两点，点 $M$是第一象限内双曲线上的动点（点 $M$在点 $A$的左侧），直线 $\mathit{AM}$分别交 $x$轴， $y$轴于 $C$， $D$两点，连接 $\mathit{BM}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$．现有以下四个结论：

① $\mathit{\Delta ODM}$与 $\mathit{\Delta OCA}$的面积相等；②若 $\mathit{BM}\perp \mathit{AM}$于点 $M$，则 $\angle \mathit{MBA}=30°$；③若 $M$点的横坐标为1， $\mathit{\Delta OAM}$为等边三角形，则 $k=2+\sqrt{3}$；④若 $\mathit{MF}=\frac{2}{5}\mathit{MB}$，则 $\mathit{MD}=2\mathit{MA}$．

其中正确的结论的序号是　 　．（只填序号）

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$的坐标为 $(-4,2)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$的图象经过线段 $\mathit{OA}$的中点 $B$，则 $k=$　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$在正方形 $\mathit{ECGF}$的边 $\mathit{CE}$上，连接 $\mathit{DG}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DG}$，交 $\mathit{BG}$于点 $H$．连接 $\mathit{HF}$， $\mathit{AF}$，其中 $\mathit{AF}$交 $\mathit{EC}$于点 $M$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AHF}$为等腰直角三角形．

（2）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{EC}=5$，求 $\mathit{EM}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形， $\mathit{\Delta EFC}$是等腰直角三角形，点 $E$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{CEF}=90°$， $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$，垂足为点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{AG}$与 $\mathit{FG}$是否相等？并给出证明；

（2）若点 $H$为 $\mathit{CF}$的中点， $\mathit{GH}$与 $\mathit{DH}$垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

（1）如图1， $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①线段 $\mathit{DB}$和 $\mathit{DG}$的数量关系是　　；

②写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$和 $\mathit{DB}$之间的数量关系．

（2）当四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$是菱形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$所在直线上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $120°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①如图2，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上时，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{DE}$交射线 $\mathit{BC}$于点 $M$，若 $\mathit{BE}=1$， $\mathit{AB}=2$，直接写出线段 $\mathit{GM}$的长度．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{AC}$，点 $E$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度沿着 $B\to A\to C$的路径运动，运动时间为 $t$（秒 $)$．过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部作正方形 $\mathit{EFGH}$．

（1）如图，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$时，

①若点 $H$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连结 $\mathit{AH}$、 $\mathit{CH}$，求证： $\mathit{AH}=\mathit{CH}$；

②当 $0<t⩽8$时，设正方形 $\mathit{EFGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的重叠部分面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（2）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$时，若直线 $\mathit{AH}$将矩形 $\mathit{ABCD}$的面积分成 $1:3$两部分，求 $t$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}=9$ ， $\mathit{DB}=3$ ， $\mathit{CE}=2$ ，则 $\mathit{AC}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $D$ 在 $\mathit{AC}$ 边上， $\mathit{AD}:\mathit{DC}=1:2$ ， $O$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，连接 $\mathit{AO}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于 $E$ ，则 $\mathit{BE}:\mathit{EC}=($ 　　 $)$

A．

$1:2$

B．

$1:3$

C．

$1:4$

D．

$2:3$

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，已知 $D$是 $\mathit{BC}$边的中点， $G$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，过 $G$点的直线分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）如图1，当 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$时，求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{AE}}+\frac{\mathit{CF}}{\mathit{AF}}=1$；

（2）如图2，当 $\mathit{EF}$和 $\mathit{BC}$不平行，且点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上或点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}=2$ ， $\mathit{DB}=1$ ， $\mathit{AE}=4$ ，则 $\mathit{EC}$ 的长度为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}=2$ ， $\mathit{DB}=1$ ， $\mathit{AE}=4$ ，则 $\mathit{EC}$ 的长度为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$，使以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $\mathit{AB}$三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

如图，直线 $l_1//l_2//l_3$， $A$， $B$， $C$分别为直线 $l_1$， $l_2$， $l_3$上的动点，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$，线段 $\mathit{AC}$交直线 $l_2$于点 $D$．设直线 $l_1$， $l_2$之间的距离为 $m$，直线 $l_2$， $l_3$之间的距离为 $n$，若 $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{BD}=4$，且 $\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$，则 $m+n$的最大值为　　．

在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$，使以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $\mathit{AB}$三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=30°$ ，点 $O$ 是边 $\mathit{AB}$ 上一点，以点 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OB}$ 为半径作圆， $\odot O$ 恰好与 $\mathit{AC}$ 相切于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ．若 $\mathit{BD}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$ ，则线段 $\mathit{CD}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

$\sqrt{3}$

C．

$\frac{3}{2}$

D．

$\frac{3}{2}\sqrt{3}$