如图，直线$l_1//l_2//l_3$，$A$，$B$，$C$分别为直线$l_1$，$l_2$，$l_3$上的动点，连接$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$，$\mathit{AC}$，线段$\mathit{AC}$交直线$l_2$于点$D$．设直线$l_1$，$l_2$之间的距离为$m$，直线$l_2$，$l_3$之间的距离为$n$，若$\angle \mathit{ABC}=90°$，$\mathit{BD}=4$，且$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$，则$m+n$的最大值为　　．