初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，将等腰直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$对折，折痕为 $\mathit{CD}$．展平后，再将点 $B$折叠在边 $\mathit{AC}$上（不与 $A$、 $C$重合），折痕为 $\mathit{EF}$，点 $B$在 $\mathit{AC}$上的对应点为 $M$，设 $\mathit{CD}$与 $\mathit{EM}$交于点 $P$，连接 $\mathit{PF}$．已知 $\mathit{BC}=4$．

（1）若 $M$为 $\mathit{AC}$的中点，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AC}$上取不同的位置，

① $\mathit{\Delta PFM}$的形状是否发生变化？请说明理由；

②求 $\mathit{\Delta PFM}$的周长的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

对给定的一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$进行如下操作：先沿 $\mathit{CE}$折叠，使点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上（如图① $)$，再沿 $\mathit{CH}$折叠，这时发现点 $E$恰好与点 $D$重合（如图② $)$

（1）根据以上操作和发现，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AD}}$的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点 $C$与点 $H$重合，折痕与 $\mathit{AB}$相交于点 $P$，再将该矩形纸片展开．求证： $\angle \mathit{HPC}=90°$；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的 $P$点，要求只有一条折痕，且点 $P$在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，将 $\mathit{\Delta BCE}$沿 $\mathit{CE}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\tan \angle \mathit{DCE}=\frac{4}{3}$．设 $\mathit{AB}=x$， $\mathit{\Delta ABF}$的面积为 $y$，则 $y$与 $x$的函数图象大致为 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象交于 $A(4,-2)$、 $B(-2,n)$两点，与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求 $k_2$， $n$的值；

（2）请直接写出不等式 $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$的解集；

（3）将 $x$轴下方的图象沿 $x$轴翻折，点 $A$落在点 $A\text{'}$处，连接 $A\text{'}B$， $A\text{'}C$，求△ $A\text{'}\mathit{BC}$的面积．

如果三角形的两个内角 $\alpha$与 $\beta$满足 $2\alpha +\beta =90°$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”， $\angle C>90°$， $\angle A=60°$，则 $\angle B=$　　 $°$；

（2）如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=5$．若 $\mathit{AD}$是 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，不难证明 $\mathit{\Delta ABD}$是“准互余三角形”．试问在边 $\mathit{BC}$上是否存在点 $E$（异于点 $D)$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$也是“准互余三角形”？若存在，请求出 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=7$， $\mathit{CD}=12$， $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABD}=2\angle \mathit{BCD}$，且 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”，求对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{BC}$翻折得 $\mathit{\Delta DBC}$．

（1）连接 $\mathit{AD}$，则 $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 $\mathit{ABDC}$是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

如图， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ABD}$的外接圆，将 $\mathit{\Delta ADC}$沿直线 $\mathit{AD}$折叠，点 $C$的对应点 $E$落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\cos \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$， $\mathit{BE}=2$，求 $\mathit{BC}$的长．

如图，等边三角形 $\mathit{ABC}$边长是定值，点 $O$是它的外心，过点 $O$任意作一条直线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$于点 $D$， $E$．将 $\mathit{\Delta BDE}$沿直线 $\mathit{DE}$折叠，得到△ $B\text{'}\mathit{DE}$，若 $B\text{'}D$， $B\text{'}E$分别交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $G$，连接 $\mathit{OF}$， $\mathit{OG}$，则下列判断错误的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta CGE}$

B．△ $B\text{'}\mathit{FG}$的周长是一个定值

C．四边形 $\mathit{FOEC}$的面积是一个定值

D．四边形 $\mathit{OG}{B}^{\text{'}}F$的面积是一个定值

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{GH}$折叠，点 $C$落在点 $Q$处，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上的点 $E$处，若 $\angle \mathit{AGE}=32°$，则 $\angle \mathit{GHC}$等于 $($　　 $)$

A． $112°$B． $110°$C． $108°$D． $106°$

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}>90°$，点 $D$为 $\mathit{BC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AC}$上，将 $\mathit{\Delta CDE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使得点 $C$恰好落在 $\mathit{BA}$的延长线上的点 $F$处，连接 $\mathit{AD}$，则下列结论不一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AE}=\mathit{EF}$B． $\mathit{AB}=2\mathit{DE}$

C． $\mathit{\Delta ADF}$和 $\mathit{\Delta ADE}$的面积相等D． $\mathit{\Delta ADE}$和 $\mathit{\Delta FDE}$的面积相等

折叠矩形纸片 $\mathit{ABCD}$时，发现可以进行如下操作：①把 $\mathit{\Delta ADE}$翻折，点 $A$落在 $\mathit{DC}$边上的点 $F$处，折痕为 $\mathit{DE}$，点 $E$在 $\mathit{AB}$边上；②把纸片展开并铺平；③把 $\mathit{\Delta CDG}$翻折，点 $C$落在线段 $\mathit{AE}$上的点 $H$处，折痕为 $\mathit{DG}$，点 $G$在 $\mathit{BC}$边上，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}+2$， $\mathit{EH}=1$，则 $\mathit{AD}=$　　．

如图，矩形 $\mathit{EFGH}$的四个顶点分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的四条边上， $\mathit{BE}=\mathit{BF}$．将 $\mathit{\Delta AEH}$， $\mathit{\Delta CFG}$分别沿边 $\mathit{EH}$， $\mathit{FG}$折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 $\mathit{ABCD}$面积的 $\frac{1}{16}$时，则 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}$为 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{3}$B．2C． $\frac{5}{2}$D．4

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{AC}$折叠，使点 $B$落在点 $E$处， $\mathit{CE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$，则 $\mathit{DF}$的长等于 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{5}$B． $\frac{5}{3}$C． $\frac{7}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图，在菱形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\angle A=60°$，将菱形纸片翻折，使点 $A$落在 $\mathit{CD}$的中点 $E$处，折痕为 $\mathit{FG}$，点 $F$， $G$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上，则 $\cos \angle \mathit{EFG}$的值为　　．