如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E、F,连接BF.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径为1,求EF的长.
如图, 是
的直径,
,
,连接
.
(1)求证: ;
(2)若直线 为
的切线,
是切点,在直线
上取一点
,使
,
所在的直线与
所在的直线相交于点
,连接
.
①试探究 与
之间的数量关系,并证明你的结论;
② 是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
如图,已知⊙ O的半径为2, AB为直径, CD为弦. AB与 CD交于点 M,将 沿 CD翻折后,点 A与圆心 O重合,延长 OA至 P,使 AP= OA,连接 PC
(1)求 CD的长;
(2)求证: PC是⊙ O的切线;
(3)点 G为 的中点,在 PC延长线上有一动点 Q,连接 QG交 AB于点 E.交 于点 F( F与 B、 C不重合).问 GE• GF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.
如图,点 C为△ ABD的外接圆上的一动点(点 C不在 上,且不与点 B, D重合),∠ ACB=∠ ABD=45°
(1)求证: BD是该外接圆的直径;
(2)连结 CD,求证: ;
(3)若△ ABC关于直线 AB的对称图形为△ ABM,连接 DM,试探究 DM 2, AM 2, BM 2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
我们知道,顶点坐标为 的抛物线的解析式为 .今后我们还会学到,圆心坐标为 ,半径为 的圆的方程 ,如:圆心为 ,半径为3的圆的方程为 .
(1)以 为圆心, 为半径的圆的方程为 .
(2)如图,以 为圆心的圆与 轴相切于原点, 是 上一点,连接 ,作 ,垂足为 ,延长 交 轴于点 ,已知 .
①连接 ,证明: 是 的切线;
②在 上是否存在一点 ,使 ?若存在,求点 的坐标,并写出以 为圆心,以 为半径的 的方程;若不存在,请说明理由.
如图, 是 的直径, 是 的弦, 交 于点 ,连接 , ,过点 作 ,垂足为 , .
(1)求证: ;
(2)点 在 的延长线上,连接 , .
①求证: 与 相切;
②当 , 时,直接写出 的长.
如图,在 中,点 为 的中点,弦 、 互相垂直,垂足为 , 分别与 、 相交于点 、 ,连接 、 .
(1)求证: 为 的中点.
(2)若 的半径为8, 的度数为 ,求线段 的长.
如图,已知 , 是 的平分线, 是射线 上一点, .动点 从点 出发,以 的速度沿 水平向左作匀速运动,与此同时,动点 从点 出发,也以 的速度沿 竖直向上作匀速运动.连接 ,交 于点 .经过 、 、 三点作圆,交 于点 ,连接 、 .设运动时间为 ,其中 .
(1)求 的值;
(2)是否存在实数 ,使得线段 的长度最大?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
(3)求四边形 的面积.
(1)如图1,点为矩形
对角线
上一点,过点
作
,分别交
、
于点
、
.若
,
,
的面积为
,
的面积为
,则
;
(2)如图2,点为
内一点(点
不在
上),点
、
、
、
分别为各边的中点.设四边形
的面积为
,四边形
的面积为
(其中
,求
的面积(用含
、
的代数式表示);
(3)如图3,点为
内一点(点
不在
上),过点
作
,
,与各边分别相交于点
、
、
、
.设四边形
的面积为
,四边形
的面积为
(其中
,求
的面积(用含
、
的代数式表示);
(4)如图4,点、
、
、
把
四等分.请你在圆内选一点
(点
不在
、
上),设
、
、
围成的封闭图形的面积为
,
、
、
围成的封闭图形的面积为
,
的面积为
,
的面积为
,根据你选的点
的位置,直接写出一个含有
、
、
、
的等式(写出一种情况即可).
如图1,与直线
相离,过圆心
作直线
的垂线,垂足为
,且交
于
、
两点
在
、
之间).我们把点
称为
关于直线
的“远点“,把
的值称为
关于直线
的“特征数”.
(1)如图2,在平面直角坐标系中,点
的坐标为
.半径为1的
与两坐标轴交于点
、
、
、
.
①过点画垂直于
轴的直线
,则
关于直线
的“远点”是点 (填“
”.“
”、“
”或“
”
,
关于直线
的“特征数”为 ;
②若直线的函数表达式为
.求
关于直线
的“特征数”;
(2)在平面直角坐标系中,直线
经过点
,点
是坐标平面内一点,以
为圆心,
为半径作
.若
与直线
相离,点
是
关于直线
的“远点”.且
关于直线
的“特征数”是
,求直线
的函数表达式.
如图,半径为4的中,弦
的长度为
,点
是劣弧
上的一个动点,点
是弦
的中点,点
是弦
的中点,连接
、
、
.
(1)求的度数;
(2)当点沿着劣弧
从点
开始,逆时针运动到点
时,求
的外心
所经过的路径的长度;
(3)分别记,
的面积为
,
,当
时,求弦
的长度.
定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.
(1)下面四边形是垂等四边形的是 ;(填序号)
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形
(2)图形判定:如图1,在四边形 中, , ,过点 作 垂线交 的延长线于点 ,且 ,证明:四边形 是垂等四边形.
(3)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图2中,面积为24的垂等四边形 内接于 中, .求 的半径.
定义:有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.
理解:
(1)若四边形 是对余四边形,则 与 的度数之和为 ;
证明:
(2)如图1, 是 的直径,点 , , 在 上, , 相交于点 .
求证:四边形 是对余四边形;
探究:
(3)如图2,在对余四边形 中, , ,探究线段 , 和 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并说明理由.
如图,在 中, , 平分 交 于点 , 为 上一点,经过点 、 的 分别交 、 于点 、 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , ,求 的半径;
(3)求证: .