在等边 中, , ,垂足为 ,点 为 边上一点,点 为直线 上一点,连接 .
(1)将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ,连接 .
①如图1,当点 与点 重合,且 的延长线过点 时,连接 ,求线段 的长;
②如图2,点 不与点 , 重合, 的延长线交 边于点 ,连接 ,求证: ;
(2)如图3,当点 为 中点时,点 为 中点,点 在边 上,且 ,点 从 中点 沿射线 运动,将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ,连接 ,当 最小时,直接写出 的面积.
如图,菱形 中, ,点 从点 出发,沿折线 方向移动,移动到点 停止.在 形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是
A. |
直角三角形 等边三角形 等腰三角形 直角三角形 |
B. |
直角三角形 等腰三角形 直角三角形 等边三角形 |
C. |
直角三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形 |
D. |
等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形 |
如图,等边三角形 的边长为4, 的半径为 , 为 边上一动点,过点 作 的切线 ,切点为 ,则 的最小值为 .
在等腰 中, ,点 是 边上一点(不与点 、 重合),连结 .
(1)如图1,若 ,点 关于直线 的对称点为点 ,连结 , ,则 ;
(2)若 ,将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ,连结 .
①在图2中补全图形;
②探究 与 的数量关系,并证明;
(3)如图3,若 ,且 .试探究 、 、 之间满足的数量关系,并证明.
如图,在 中, , ,点 是 边的中点,点 是 边上一个动点,连接 ,以 为边在 的下方作等边三角形 ,连接 .则 的最小值是
A. |
|
B. |
1 |
C. |
|
D. |
|
如图,在边长为6的等边 中,点 , 分别是边 , 上的动点,且 ,连接 , 交于点 ,连接 ,则 的最小值为 .
已知点 是线段 的中点,点 是直线 上的任意一点,分别过点 和点 作直线 的垂线,垂足分别为点 和点 .我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距".
(1) 猜想验证 如图1,当点 与点 重合时,请你猜想、验证后直接写出"足中距" 和 的数量关系是 .
(2) 探究证明 如图2,当点 是线段 上的任意一点时,"足中距" 和 的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展延伸 如图3,①当点 是线段 延长线上的任意一点时,"足中距" 和 的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
②若 ,请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
如图, 是边长为1的等边三角形, 、 为线段 上两动点,且 ,过点 、 分别作 、 的平行线相交于点 ,分别交 、 于点 、 .现有以下结论: ;②当点 与点 重合时, ;③ ;④当 时,四边形 为菱形,其中正确结论为
A. |
①②③ |
B. |
①②④ |
C. |
①②③④ |
D. |
②③④ |
如图,已知 是等边三角形, 是 内部的一点,连接 , .
(1)如图1,以 为直径的半圆 交 于点 ,交 于点 ,当点 在 上时,连接 ,在 边的下方作 , ,连接 ,求 的度数;
(2)如图2, 是 边上一点,且 ,当 时,连接 并延长,交 于点 ,若 ,求证: ;
(3)如图3, 是 边上一点,当 时,连接 .若 , , , 的面积为 , 的面积为 ,求 的值(用含 的代数式表示).
如图,已知 是等边三角形, 是 内部的一点,连接 , .
(1)如图1,以 为直径的半圆 交 于点 ,交 于点 ,当点 在 上时,连接 ,在 边的下方作 , ,连接 ,求 的度数;
(2)如图2, 是 边上一点,且 ,当 时,连接 并延长,交 于点 ,若 ,求证: ;
(3)如图3, 是 边上一点,当 时,连接 .若 , , , 的面积为 , 的面积为 ,求 的值(用含 的代数式表示).
如图,在边长为 的正六边形 中,连接 , ,其中点 , 分别为 和 上的动点.若以 , , 为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为 .
在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:
已知线段 ,使用作图工具作 ,尝试操作后思考: (1)这样的点 唯一吗? (2)点 的位置有什么特征?你有什么感悟? |
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点 的位置不唯一,它在以 为弦的圆弧上(点 、 除外), .小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图 .
(1)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为 ;
② 面积的最大值为 ;
(2)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部,我们记为 ,请你根据图1证明 .
(3)请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图2,已知矩形 的边长 , ,点 在直线 的左侧,且 .
①线段 长的最小值为 ;
②若 ,则线段 长为 .
在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.
(1) 是边长为3的等边三角形, 是边 上的一点,且 ,小亮以 为边作等边三角形 ,如图1.求 的长;
(2) 是边长为3的等边三角形, 是边 上的一个动点,小亮以 为边作等边三角形 ,如图2.在点 从点 到点 的运动过程中,求点 所经过的路径长;
(3) 是边长为3的等边三角形, 是高 上的一个动点,小亮以 为边作等边三角形 ,如图3.在点 从点 到点 的运动过程中,求点 所经过的路径长;
(4)正方形 的边长为3, 是边 上的一个动点,在点 从点 到点 的运动过程中,小亮以 为顶点作正方形 ,其中点 、 都在直线 上,如图4.当点 到达点 时,点 、 、 与点 重合.则点 所经过的路径长为 ,点 所经过的路径长为 .