初中数学平面直角坐标系试题

定义：若实数 $x$， $y$满足 $x^2=2y+t$， $y^2=2x+t$，且 $x\ne y$， $t$为常数，则称点 $M(x,y)$为“线点”．例如，点 $(0,-2)$和 $(-2,0)$是“线点”．已知：在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $P(m,n)$．

（1） $P_1(3,1)$和 $P_2(-3,1)$两点中，点　   　是“线点”；

（2）若点 $P$是“线点”，用含 $t$的代数式表示 $\mathit{mn}$，并求 $t$的取值范围；

（3）若点 $Q(n,m)$是“线点”，直线 $\mathit{PQ}$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$， $B$，当 $|\angle \mathit{POQ}-\angle \mathit{AOB}|=30°$时，直接写出 $t$的值．

如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 $A$的坐标可表示为 $(1$，2， $5)$，点 $B$的坐标可表示为 $(4$，1， $3)$，按此方法，则点 $C$的坐标可表示为　            $\mathit{ }$．

已知平面图形 $S$，点 $P$、 $Q$是 $S$上任意两点，我们把线段 $\mathit{PQ}$的长度的最大值称为平面图形 $S$的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　     　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　   　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,0)$、 $B(1,0)$， $C$是坐标平面内的点，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CA}$所形成的图形为 $S$，记 $S$的宽距为 $d$．

①若 $d=2$，用直尺和圆规画出点 $C$所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点 $C$在 $\odot M$上运动， $\odot M$的半径为1，圆心 $M$在过点 $(0,2)$且与 $y$轴垂直的直线上．对于 $\odot M$上任意点 $C$，都有 $5⩽d⩽8$，直接写出圆心 $M$的横坐标 $x$的取值范围．

平面直角坐标系中，点 $P(-3,4)$到原点的距离是　    　．

点 $(-1,2)$所在的象限是第　    　象限．

对于任意实数 $m$，点 $P(m-2,9-3m)$不可能在 $($　　 $)$

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

正方形 $A_1{B}_1{C}_{1}O$， $A_2{B}_2{C}_2{C}_1$， $A_3{B}_3{C}_3{C}_2\dots$按如图所示放置，点 $A_1$、 $A_2$、 $A_3\dots$在直线 $y=x+1$上，点 $C_1$、 $C_2$、 $C_3\dots$在 $x$轴上，则 $A_n$的坐标是　　．

如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 $O$出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 $P_1(0,1)$， $P_2(1,1)$， $P_3(1,0)$， $P_4(1,-1)$， $P_5(2,-1)$， $P_6(2,0)$， $\dots$，则点 $P_{2017}$的坐标是　　．

探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： $P_1{P}_2=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$他还利用图2证明了线段 $P_1{P}_2$的中点 $P(x,y)P$的坐标公式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$， $y=\frac{y_1+y_2}{2}$．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点 $M(2,-1)$， $N(-3,5)$，则线段 $\mathit{MN}$长度为　　；

②直接写出以点 $A(2,2)$， $B(-2,0)$， $C(3,-1)$， $D$为顶点的平行四边形顶点 $D$的坐标：　　；

拓展：（3）如图3，点 $P(2,n)$在函数 $y=\frac{4}{3}x(x⩾0)$的图象 $\mathit{OL}$与 $x$轴正半轴夹角的平分线上，请在 $\mathit{OL}$、 $x$轴上分别找出点 $E$、 $F$，使 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，对于不在坐标轴上的任意一点 $P(x,y)$，我们把点 $P\text{'}(\frac{1}{x}$， $\frac{1}{y})$称为点 $P$的“倒影点”，直线 $y=-x+1$上有两点 $A$， $B$，它们的倒影点 $A\text{'}$， $B\text{'}$均在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上．若 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$，则 $k=$　　．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $B$坐标 $(-3,0)$，点 $C$在 $y$轴正半轴上，且 $\sin \angle \mathit{CBO}=\frac{4}{5}$，点 $P$从原点 $O$出发，以每秒一个单位长度的速度沿 $x$轴正方向移动，移动时间为 $t(0⩽t⩽5)$秒，过点 $P$作平行于 $y$轴的直线 $l$，直线 $l$扫过四边形 $\mathit{OCDA}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$坐标．

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式．

（3）在直线 $l$移动过程中， $l$上是否存在一点 $Q$，使以 $B$、 $C$、 $Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，点 $A$在 $x$轴的负半轴上，直线 $y=-\sqrt{3}x+\frac{7}{2}\sqrt{3}$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$、 $C$两点，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形．

（1）如图1，求点 $A$的坐标；

（2）如图2，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$为 $\mathit{\Delta ACD}$内一点，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$，点 $E$在线段 $\mathit{AP}$上，点 $F$在线段 $\mathit{BP}$上，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{EF}$，若 $\angle \mathit{AFE}=30°$，求 $A{F}^2+E{F}^2$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $\mathit{PE}=\mathit{AE}$时，求点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系中，点 $A(\sqrt{3}$， $1)$在射线 $\mathit{OM}$上，点 $B(\sqrt{3}$， $3)$在射线 $\mathit{ON}$上，以 $\mathit{AB}$为直角边作 $\text{Rt}\Delta {\text{ABA}}_{\text{1}}$，以 $B{A}_1$为直角边作第二个 $\mathit{Rt}$△ $B{A}_1{B}_1$，以 $A_1{B}_1$为直角边作第三个 $\mathit{Rt}$△ $A_1{B}_1{A}_2$， $\dots$，依此规律，得到 $\mathit{Rt}$△ $B_{2017}{A}_{2018}{B}_{2018}$，则点 $B_{2018}$的纵坐标为　　．

如图，半径为3的 $\odot A$经过原点 $O$和点 $C(0,2)$， $B$是 $y$轴左侧 $\odot A$优弧上一点，则 $\tan \angle \mathit{OBC}$为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $2\sqrt{2}$C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$