全国重点高中提前招生真题过关（十五）

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$如图所示.过点 $D$作 $\mathit{DF}$的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$的延长线于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，延长 $\mathit{BE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$.若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$的值为 （ ）

图①是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图②所示，此时液面 $\mathit{AB}=$（ ）

有一块锐角三角形余料 $\mathit{ABC}$，它的边 $\mathit{BC}=15\text{cm},\mathit{BC}$边上的高为 $12\text{cm}$，现要把它分割成若干个邻边长分别为 $5\text{cm}$和 $2\text{cm}$的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为 $5\text{cm}$的边在 $\mathit{BC}$上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 （ ）

如图，有一块锐角三角形材料，边 $\mathit{BC}=120\text{mm}$，高 $\mathit{AD}=90\text{mm}$，要把它加工成矩形零件，使其一边在 $\mathit{BC}$上，其余两个顶点分别在 $\mathit{AB},\mathit{AC}$上，且 $\mathit{EH}=2\mathit{EF}$，则这个矩形零件的长为（ ）

如图， $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$表示两根直立于地面的柱子， $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$表示起固定作用的两根钢筋， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $M$，已知 $\mathit{AB}=8\text{m},\mathit{CD}=12\text{m}$，则点 $M$离地面的高度 $\mathit{MH}$为（ ）

已知抛物线 $y=-x^2+1$的顶点为 $P$，点 $A$是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 $A$作 $x$轴的平行线交二次函数图象于点 $B$，分别过点 $B,A$作 $x$轴的垂线，垂足分别为 $C,D$，连接 $\mathit{PA},\mathit{PD},\mathit{PD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E,△\mathit{PAD}$与 $△\mathit{PEA}$（ ）

如图所示， $\mathit{DE}$是 $△\mathit{ABC}$的中位线， $F$为 $\mathit{DE}$上一点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{DF},\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{AC}$于点 $H,\mathit{CF}$的延长线交 $\mathit{AB}$于点 $G$，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{AGF}\text{H}}:S_{△\mathit{BFC}}$等于（ ）

抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+b^2+1$的一部分如图所示，设该抛物线与 $x$轴的交点为 $A\left(-3,0\right)$和 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$，若 $△\mathit{ACO}\backsim △\mathit{CBO}$，则 $b^2+1$的值为（ ）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{CD}$边上一点，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为对角线作正方形 $\mathit{BGEF}$，边 $\mathit{EF}$与正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$相交于点 $H$，连接 $\mathit{AF}$，有以下五个结论:① $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{DBE}$；② $△\mathit{ABF}\backsim △\mathit{DBE}$；③ $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$；④ $2B{G}^2=BH·BD$；⑤若 $CE:DE=1:3$，则 $\mathit{BH}:\mathit{DH}=17:16$.你认为其中正确的结论是＿＿＿＿＿（填写序号）.

如图①，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC},\mathit{BAC}={90}^{\circ }$，边 $\mathit{AB}$上的点 $D$从顶点 $A$出发，向顶点 $B$运动，同时，边 $\mathit{BC}$上的点 $E$从顶点 $B$出发，向顶点 $C$运动， $D,E$两点运动速度的大小相等.设 $x=\mathit{AD},y=\mathit{AE}+\mathit{CD},y$关于 $x$的函数图象如图②，图象过点 $\left(0,2\right)$，则图象最低点的横坐标是＿＿＿＿＿.

如图，在边长为 $4$的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{CF}=3\mathit{DF},\mathit{AE},\mathit{BF}$相交于点 $G$，则 $△\mathit{AGF}$的面积是＿＿＿＿＿.

一个铝质三角形框架三条边长分别为 $24\text{cm},30\text{cm},36\text{cm}$，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为 $20\text{cm},45\text{cm}$的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有＿＿＿＿＿种.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=4,\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$于点 $F,\mathit{BH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，交 $\mathit{AF}$于点 $G$，点 $D$在直线 $\mathit{AF}$上运动， $\mathit{BD}=\mathit{DE},\angle \mathit{BDE}={135}^{\circ },\angle \mathit{ABH}={45}^{\circ }$，当 $\mathit{AE}$取最小值时， $\mathit{BE}$的长为＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{BC}=8,\mathit{AC}=6$，以点 $C$为圆心， $4$为半径的圆上有一动点 $D$，连接 $\mathit{AD},\mathit{BD},\mathit{CD}$，则 $\frac{1}{2}\mathit{BD}+\mathit{AD}$的最小值是＿＿＿＿＿.

如图， $\mathit{AB},\mathit{CD}$为 $\odot O$的两条弦， $\mathit{CD}=1,\mathit{AB}=m+n\sqrt{5}$（ $m,n$为有理数），弧 $\mathit{AB},\mathit{CD}$的度数分别为 ${108}^{\circ },{36}^{\circ }$，则 $108m-36n=$＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $\mathit{EFGH}$内接于 $△\mathit{ABC}$，设 $\mathit{BC}=\overline{\mathit{ab}}(\overline{\mathit{ab}}$表示一个两位数 $),\mathit{EF}=c$，三角形高 $\mathit{AD}=d$，已知 $a,b,c,d$恰好是从小到大的四个连续正整数，则 $△\mathit{ABC}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\mathit{AD}=\mathit{CD},O$是对角线 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{BO}$并延长交边 $\mathit{CD}$于点 $E$.

（1）当点 $E$在 $\mathit{CD}$上，①求证: $△\mathit{DAC}\sim △\mathit{OBC}$；②若 $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$，求 $\mathit{AD}:\mathit{BC}$的值；

（2）若 $\mathit{DE}=2,\mathit{OE}=3$，求 $\mathit{CD}$的长.

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+4$与两坐标轴分别相交于 $A,B,C$三点.

（1）求证: $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }$；

（2）点 $D$是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$作 $x$轴的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$.

①求 $\mathit{DE}+\mathit{BF}$的最大值；

②点 $G$是 $\mathit{AC}$的中点，若以点 $C,D,E$为顶点的三角形与 $△\mathit{AOG}$相似，求点 $D$的坐标.

如图，点 $D$在以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上，过 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $C,\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$于点 $E$，交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{AD},\mathit{FD}$.

（1）求证: $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC};$

（2）求证: $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$；

（3）若 $\text{sin}\angle C=\frac{1}{4},\mathit{AD}=4\sqrt{10}$，求 $\mathit{EF}$的长.

如图，开口向下的抛物线 $y=a{x}^2-8\mathit{ax}+12a$与 $x$轴交于 $A,B$两点，抛物线上另有一点 $C$在第一象限，且使 $△\mathit{OCA}\sim △\mathit{OBC}$.

（1）求 $\mathit{OC}$的长及 $\mathit{BC}:\mathit{AC}$的值；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于 $P$点，点 $C$是 $\mathit{BP}$的中点时，求直线 $\mathit{BP}$和抛物线的解析式.

图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽 $\mathit{AB}=1.2\text{cm}$，托架斜面长 $\mathit{BD}=6\text{cm}$，它有 $C$到 $F$共4个挡位调节角度，相邻两个挡位间的距离为 $0.8\text{cm}$，挡位 $C$到 $B$的距离为 $2.4\text{cm}$.将某型号手机置于托架上（图2，手机屏幕长 $\mathit{AG}$是 $15\text{cm}$， $O$是支点且 $\mathit{OB}=\mathit{OE}=2.5\text{cm}$（支架的厚度忽略不计）.求:

（1）当支架调到 $E$挡时，点 $G$离水平面的距离 $\mathit{GH}$为多少厘米；

（2）当支架从 $E$挡调到 $F$挡时，点 $D$离水平面的距离下降了多少厘米.

如图，已知锐角 $△\mathit{ABC}$的面积为 $1$，正方形 $\mathit{DEFG}$是 $△\mathit{ABC}$的一个内接四边形， $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，求正方形 $\mathit{DEFG}$面积的最大值.

如图甲，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{AC}=4\text{cm},\mathit{BC}=3\text{cm}$，如果点 $P$由点 $B$出发沿 $\mathit{BA}$方向向点 $A$匀速运动，同时点 $Q$由点 $A$出发沿 $\mathit{AC}$方向向点 $C$匀速运动，它们的速度均为 $1\text{cm}/\text{s}$.连接 $\mathit{PQ}$，设运动时间为 $t\left(\text{s}\right)(0<t<4)$，解答下列问题:

（1）设 $△\mathit{APQ}$的面积为 $S$，当 $t$为何值时， $S$取得最大值， $S$的最大值是多少?

（2）如图乙，连接 $\mathit{PC}$，将 $△\mathit{PQC}$沿 $\mathit{QC}$翻折，得到四边形 $\mathit{PQ}{P}^{\text{'}}C$，当四边形 $\mathit{PQ}{P}^{\text{'}}C$为菱形时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $△\mathit{APQ}$是等腰三角形?