全国重点高中提前招生真题过关（五）

已知 $A\left(x_1,2021\right),B\left(x_2,2021\right)$是二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5\left(a\ne 0\right)$的图象上两点，则当 $x=x_1+x_2$时，二次函数的值是（ ）

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c\left(a\ne 0\right)$与 $x$轴的交点为 $A\left(1,0\right)$和 $B\left(3,0\right)$，点 $P_1\left(x_1\right.$， $\left.y_1\right),P_2\left(x_2,y_2\right)$是抛物线上不同于 $A,B$的两个点，记 $△P_1\mathit{AB}$的面积为 $S_1,△P_2\mathit{AB}$的面积为 $S_2$，有下列结论:①当 $x_1>x_2+2$时， $S_1>S_2$；②当 $x_1<2-x_2$时， $S_1<S_2$；③当 $\left|x_1-2\right|>\left|x_2-2\right|>1$时， $S_1>S_2$；④当 $\left|x_1-2\right|>\left|x_2+2\right|>1$时， $S_1<S_2$其中正确结论的个数是（ ）

如图是二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a,b,c$是常数， $a\ne 0)$图象的一部分，与 $x$轴的交点 $A$在点 $\left(2,0\right)$和 $\left(3,0\right)$之间，对称轴是 $x=1$.对于下列说法:① $\mathit{ab}<0$；② $2a+b=0$；③ $3a+c>0$；④ $a+b⩾m\left(\mathit{am}+b\right)$（ $m$为实数）；⑤当 $-1<x<3$时， $y>0$.其中正确的说法是（ ）

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A\left(-1,0\right)$，点 $B\left(3,0\right)$，点 $C\left(4,y_1\right)$，若点 $D\left(x_2,y_2\right)$是抛物线上任意一点，有下列结论:①次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $-4a$；②若 $-1⩽x_2⩽4$，则 $0⩽y_2⩽5a$；③若 $y_2>y_1$，则 $x_2>4$；④一元二次方程 $c{x}^2+\mathit{bx}+a=0$的两个根为 $-1$和 $\frac{1}{3}$.其中正确结论的个数是（ ）

设 $O$为坐标原点，点 $A,B$为抛物线 $y=x^2$上的两个动点，且 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$，连接点 $A,B$，过 $O$作 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$于点 $C$，则点 $C$到 $y$轴距离的最大值是（ ）

如图是二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象的一部分， 记 $M=a+b$， 取值范围是（ ）

二次函数 $y=2x^2-8x+m$ 满足以下条件: 当 $-2<x<-1$ 时， 图象位于 $x$轴的下方；当 $6<x<7$时，它的图象位于 $x$轴的上方.则 $m$的值为（ ）

二次函数 $y=-x^2+6x-7$，当 $x$取值为 $t⩽x⩽t+2$时，有最大值 $y=-{(t-3)}^2+2$，则 $t$的取值范围为（ ）

二次函数 $y=x^2+bx-c$的图象与 $x$轴正方向交于 $A,B$两点，与 $y$轴正方向交于点 $C$.已知 $\mathit{AB}=\sqrt{3}\mathit{AC},\angle \mathit{CAO}={30}^{\circ }$，则 $c=$＿＿＿＿＿.

已知点 $A,B$的坐标分别为 $\left(1,0\right),\left(2,0\right)$，若二次函数 $y=x^2+\left(a-3\right)x+3$的图象与线段 $\mathit{AB}$只有一个交点，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

设 $a，b，c$为实数，且 $a\ne 0$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A,B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且抛物线的顶点在直线 $y=-1$上.若 $△\mathit{ABC}$是直角三角形，则 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$面积的最大值是＿＿＿＿＿.

若函数 $y=3x^2-\left(9+a\right)x+6+2a$（ $x$是自变量且为整数），在 $x=6$或 $x=7$时取得最小值，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知二次函数 $y=-x^2+6x-5$.当 $t⩽x⩽t+3$时，函数的最大值为 $m$，最小值为 $n$，若 $m-n=3$，则 $t$的值为＿＿＿＿＿.

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a,b,c$是常数）， $a+b+c=0$.下列四个结论:①若拋物线经过点 $\left(-3,0\right)$，则 $b=2a$；②若 $b=c$，则方程 $c{x}^2+\mathit{bx}+a=0$一定有根 $x=-2$；③抛物线与 $x$轴一定有两个不同的公共点；④点 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$在拋物线上，若 $0<a<c$，则当 $x_1<x_2<1$时， $y_1>y_2$.其中正确的是＿＿＿＿＿.（填写序号）.

已知关于 $x$的二次函数 $y=a{x}^2+\left(a^2-1\right)x-a$的图象与 $x$轴的一个交点的坐标为 $\left(m,0\right)$.若 $2<m<3$，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

若抛物线 $y=2x^2-px+4p+1$中不管 $p$取何值时都通过定点，则定点坐标为＿＿＿＿＿.

若方程 $\left|x^2+2x-1\right|=b$有四个互不相等的根，求 $b$的取值范围.

已知二次函数 $y=x^2+bx-c$的图象经过两点 $P（1，a），Q（2，10a）$.

（1）如果 $a,b,c$都是整数，且 $c<b<8a$，求 $a,b,c$的值；

（2）设二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}-c$的图象与 $x$轴的交点为 $A,B$，与 $y$轴的交点为 $C$.如果关于 $x$的方程 $x^2+\mathit{bx}-c=0$的两个根都是整数，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为 $20$元，并且每周（ $7$天）涨价 $2$元，从第 $6$周开始保持 $30$元的价格平稳销售；从第 $12$周开始，当季节即将过去时，平均每周减价 $2$元，直到第 $16$周周末，该服装不再销售.

（1）试建立销售价 $y$与周次 $x$之间的函数关系式；

（2）若这种时装每件进价 $Z$与周次 $x$之间的关系为 $Z=-0.125{(x-8)}^2+12,1⩽x⩽16$，且 $x$为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大，最大利润为多少?

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c\left(a\ne 0\right)$与 $x$轴交于 $A,B$两点，与 $y$轴交于 $C$点， $\mathit{AC}=\sqrt{10},\mathit{OB}=\mathit{OC}=3\mathit{OA}$.

（1）求拋物线的解析式；

（2）在第二象限内的拋物线上确定一点 $P$，使四边形 $\mathit{PBAC}$的面积最大，求出点 $P$的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$为 $x$轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$，使点 $P,B,M,Q$为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由.

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象开口向上，且经过点 $A\left(0,\frac{3}{2}\right),B\left(2,-\frac{1}{2}\right)$.

（1）求 $b$的值（用含 $a$的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在 $1⩽x⩽3$时， $y$的最大值为1，求 $a$的值；

（3）将线段 $\mathit{AB}$向右平移 $2$个单位得到线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$.若线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c+4a-1$仅有一个交点，求 $a$的取值范围.

如图， 已知直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 与拋物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+6$ 交于 $A\mathrm{，}B$两点.

（1）求 $A,B$两点的坐标；

（2）求线段 $\mathit{AB}$的垂直平分线的解析式；

（3）取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上移动，动点 $P$将与 $A,B$构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点 $P$的坐标；如果不存在，请简要说明理由.

已知两个不相等的实数 $a\mathrm{，}b$ 满足 $a\mathrm{（}a-2\mathrm{）}=2\mathrm{，}b\mathrm{（}b-2\mathrm{）}=2$，且 $5m=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$.

（1）求 $m$的值；

（2）已知自变量为 $x$的函数 $y=x^2+\mathit{mx}+n$交 $x$轴交于不同的两点 $A,B$，函数图象的顶点为 $C$，若 $△\mathit{ABC}$是等边三角形，求 $n$的值；

（3）已知自变量为 $x$的函数 $y=m{x}^2-\mathit{tx}-m$，当 $-1⩽x⩽1$时，总有 $y⩽3$成立，求 $t$的取值范围.