2020年湖北省荆州市中考数学试卷

有理数 $-2$ 的相反数是 $($ 　　 $)$

下列四个几何体中，俯视图形状与其它三个不同的是 $($ 　　 $)$

在平面直角坐标系中，一次函数 $y=x+1$ 的图象是 $($ 　　 $)$

将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若 $\angle \mathit{CAB}=30°$ ，则 $\angle \mathit{ACB}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

八年级学生去距学校 $10\mathit{km}$ 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 $20\mathit{min}$ 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为 $\mathit{xkm}/h$ ，则可列方程为 $($ 　　 $)$

若 $x$ 为实数，在" $(\sqrt{3}+1)$ □ $x$ "的"□"中添上一种运算符号（在" $+$ ， $-$ ， $\times$ ， $÷$ "中选择）后，其运算的结果为有理数，则 $x$ 不可能是 $($ 　　 $)$

如图，点 $E$ 在菱形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边上，点 $F$ 在 $\mathit{BC}$ 边的延长线上，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{DF}$ ，对于下列条件：① $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ；② $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$ ；③ $\mathit{CE}=\mathit{DF}$ ；④ $\angle \mathit{BCE}=\angle \mathit{CDF}$ ．只选取其中一条添加，不能确定 $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta CDF}$ 的是 $($ 　　 $)$

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{OAB}$ 的斜边 $\mathit{OA}$ 在第一象限，并与 $x$ 轴的正半轴夹角为 $30°$ ． $C$ 为 $\mathit{OA}$ 的中点， $\mathit{BC}=1$ ，则点 $A$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

定义新运算" $a*b$ "：对于任意实数 $a$ ， $b$ ，都有 $a*b=(a+b)(a-b)-1$ ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例 $4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6$ ．若 $x*k=x(k$ 为实数）是关于 $x$ 的方程，则它的根的情况为 $($ 　　 $)$

如图，在 $6\times 6$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在网格交点上， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，则 $\cos \angle \mathit{BAC}$ 的值为 $($ 　　 $)$

若$a={(\pi -2020)}^0$，$b=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$，$c=|-3|$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为　　．（用“$<$”号连接）

若单项式$2x^m{y}^3$与$3x{y}^{m+n}$是同类项，则$\sqrt{2m+n}$的值为　　．

已知：$\mathit{\Delta ABC}$，求作：$\mathit{\Delta ABC}$的外接圆．作法：①分别作线段$\mathit{BC}$，$\mathit{AC}$的垂直平分线$\mathit{EF}$和$\mathit{MN}$，它们相交于点$O$；②以点$O$为圆心，$\mathit{OB}$的长为半径画圆．如图，$\odot O$即为所求，以上作图用到的数学依据有：　

若标有$A$，$B$，$C$的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘$B$前需先摘$C)$，直到摘完，则最后一只摘到$B$的概率是　　．

“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$，其中$\angle C=90°$，$\mathit{AB}$与$\mathit{BC}$间另有步道$\mathit{DE}$相连，$D$地在$\mathit{AB}$正中位置，$E$地与$C$地相距$1\mathit{km}$．若$\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$，$\angle \mathit{DEB}=45°$，小张某天沿$A\to C\to E\to B\to D\to A$路线跑一圈，则他跑了　　$\mathit{km}$．

我们约定： $(a$ ， $b$ ， $c)$ 为函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的"关联数"，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为"整交点"．若关联数为 $(m$ ， $-m-2$ ， $2)$ 的函数图象与 $x$ 轴有两个整交点 $(m$ 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 　　．

先化简，再求值： $(1-\frac{1}{a})÷\frac{a^2-1}{a^2+2a+1}$ ，其中 $a$ 是不等式组 $\left\{\begin{array}{c}a-2⩾2-\mathit{a①}\\ 2a-1<a+3②\end{array}\right.$ 的最小整数解．

阅读下列"问题"与"提示"后，将解方程的过程补充完整，求出 $x$ 的值．

【问题】解方程： $x^2+2x+4\sqrt{x^2+2x}-5=0$ ．

【提示】可以用"换元法"解方程．

解：设 $\sqrt{x^2+2x}=t(t⩾0)$ ，则有 $x^2+2x=t^2$

原方程可化为： $t^2+4t-5=0$

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ 得到 $\mathit{\Delta DBE}$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

6月26日是"国际禁毒日"，某中学组织七、八年级全体学生开展了"禁毒知识"网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

解析数据：

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值；

（2）通过数据解析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为"优秀"．估计这两个年级共有多少名学生达到"优秀"？

九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y=\frac{2}{\left|x\right|}$ 的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m=$ 　　；

描点：根据表中各组对应值 $(x,y)$ ，在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

① 　　；

② 　　；

（3）①观察发现：如图2．若直线 $y=2$ 交函数 $y=\frac{2}{\left|x\right|}$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ 交 $x$ 轴于 $C$ ．则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　；

②探究思考：将①中"直线 $y=2$ "改为"直线 $y=a(a>0)$ "，其他条件不变，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　；

③类比猜想：若直线 $y=a(a>0)$ 交函数 $y=\frac{k}{\left|x\right|}(k>0)$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ 交 $x$ 轴于 $C$ ，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．

为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往 $A$ 地240吨， $B$ 地260吨，运费如下表（单位：元 $/$ 吨）．

（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？

（2）设这批物资从乙厂运往 $A$ 地 $x$ 吨，全部运往 $A$ ， $B$ 两地的总运费为 $y$ 元．求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低 $m$ 元 $(0<m⩽15$ 且 $m$ 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求 $m$ 的最小值．

如图1，在平面直角坐标系中， $A(-2,-1)$ ， $B(3,-1)$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AO}$ 延长线于 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，过 $O$ 作 $\mathit{ED}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{AB}$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $\mathit{OBCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OAB}$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{\mathit{\Delta EPQ}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．