初中数学解直角三角形解答题

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 在 $\odot O$ 上， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，与 $\mathit{BC}$ 延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ．

（2）若 $\mathit{EF}=12$ ， $\sin \angle \mathit{ABF}=\frac{3}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图所示，小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A．B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $\mathit{AB}=4\mathit{cm}$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AB}$ 向点 $B$ 匀速运动，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$ ，交折线 $\mathit{AC}-\mathit{CB}$ 于点 $Q$ ，以 $\mathit{PQ}$ 为边作等边三角形 $\mathit{PQD}$ ，使点 $A$ ， $D$ 在 $\mathit{PQ}$ 异侧．设点 $P$ 的运动时间为 $x\left(s\right)(0<x<2)$ ， $\mathit{\Delta PQD}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$ ．

（1） $\mathit{AP}$ 的长为 　 　 $\mathit{cm}$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（2）当点 $D$ 落在边 $\mathit{BC}$ 上时，求 $x$ 的值．

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）

（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；
（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$是弧 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{OD}$分别交于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{DO}//\mathit{AC}$；

（2）求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{DA}=D{C}^2$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{CAD}=\frac{1}{2}$，求 $\sin \angle \mathit{CDA}$的值．

能够完全重合的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和 $\mathit{AEFG}$ 按图①方式摆放，其中 $\mathit{AD}=\mathit{AG}=5$ ， $\mathit{AB}=9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{FG}$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $\mathit{AGHD}$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 　    　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CF}$ ，如图③，若 $\sin \angle \mathit{BAD}=\frac{4}{5}$ ，则四边形 $\mathit{DCFG}$ 的面积为 　　．

小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：，．结果保留整数）

如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $C$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BCE}=\angle \mathit{BCD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=10$， $\mathit{CE}=2\mathit{BE}$，求 $\odot O$的半径．

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $\mathit{AB}-\mathit{BC}$ 以每秒5个单位长度的速度向点 $C$ 运动，同时点 $D$ 从点 $C$ 出发，沿 $\mathit{CA}$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $D$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，作点 $P$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点 $Q$ ，连结 $\mathit{PQ}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{DP}$ 、 $\mathit{DQ}$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值．

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $\mathit{CE}$ 的长．

（3）当 $\mathit{\Delta PDQ}$ 为锐角三角形时，求 $t$ 的取值范围．

（4）如图②，取 $\mathit{PD}$ 的中点 $M$ ，连结 $\mathit{QM}$ ．当直线 $\mathit{QM}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的一条直角边平行时，直接写出 $t$ 的值．

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．

（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1．414，≈1．732）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ，点 $E$ 为边 $\mathit{CD}$ 上的一点（与 $C$ 、 $D$ 不重合），四边形 $\mathit{ABCE}$ 关于直线 $\mathit{AE}$ 的对称图形为四边形 $\mathit{ANME}$ ，延长 $\mathit{ME}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $P$ ，记四边形 $\mathit{PADE}$ 的面积为 $S$ ．

（1）若 $\mathit{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $S$ 的值；

（2）设 $\mathit{DE}=x$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式．

图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″．

（1）小床这样设计应用的数学原理是                   ．
（2）若AB：BC=1：4，则tan∠CAD的值是    ．

如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．

（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据：≈1.41，≈1.73．