初中数学相似三角形的判定与性质计算题

阅读理解：

如图①，图形 $\mathit{l}$外一点 $\mathit{P}$与图形 $\mathit{l}$上各点连接的所有线段中，若线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$最短，则线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$的长度称为点 $\mathit{P}$到图形 $\mathit{l}$的距离．

例如：图②中，线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}\mathit{A}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}\mathit{H}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的坐标分别为 $\mathit{(}\mathit{8}\mathit{,}\mathit{4}\mathit{)}$， $\mathit{(}\mathit{12}\mathit{,}\mathit{7}\mathit{)}$，点 $\mathit{P}$从原点 $\mathit{O}$出发，以每秒1个单位长度的速度向 $\mathit{x}$轴正方向运动了 $\mathit{t}$秒．

（1）当 $\mathit{t}\mathit{=}\mathit{4}$时，求点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；

（2） $\mathit{t}$为何值时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离为5？

（3） $\mathit{t}$满足什么条件时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $E$在边 $\mathit{CD}$上移动，连接 $\mathit{AE}$，将多边形 $\mathit{ABCE}$沿直线 $\mathit{AE}$翻折，得到多边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}E$，点 $B$、 $C$的对应点分别为点 $B\text{'}$、 $C\text{'}$．

（1）当 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$时（如图 $1$），求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）若 $B\text{'}C\text{'}$分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$，且 $\angle \mathit{DAE}=22.5°$（如图 $2)$，求 $\mathit{\Delta DFG}$的面积；

（3）在点 $E$从点 $C$移动到点 $D$的过程中，求点 $C\text{'}$运动的路径长．

如图，已知一次函数 $y=-\frac{4}{3}x+4$的图象是直线 $l$，设直线 $l$分别与 $y$轴、 $x$轴交于点 $A$、 $B$．

（1）求线段 $\mathit{AB}$的长度；

（2）设点 $M$在射线 $\mathit{AB}$上，将点 $M$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$到点 $N$，以点 $N$为圆心， $\mathit{NA}$的长为半径作 $\odot N$．

①当 $\odot N$与 $x$轴相切时，求点 $M$的坐标；

②在①的条件下，设直线 $\mathit{AN}$与 $x$轴交于点 $C$，与 $\odot N$的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{MD}$交 $x$轴于点 $E$，直线 $m$过点 $N$分别与 $y$轴、直线 $l$交于点 $P$、 $Q$，当 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CDE}$相似时，求点 $P$的坐标．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，一个以点 $A$为顶点的 $45°$角绕点 $A$旋转，角的两边分别与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EF}$．设 $\mathit{CE}=a$， $\mathit{CF}=b$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{EAF}$被对角线 $\mathit{AC}$平分时，求 $a$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta AEF}$是直角三角形时，求 $a$、 $b$的值；

（3）如图3，探索 $\angle \mathit{EAF}$绕点 $A$旋转的过程中 $a$、 $b$满足的关系式，并说明理由．

如图，将边长为6的正方形纸片 $\mathit{ABCD}$对折，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，折痕为 $\mathit{EF}$，展平后，再将点 $B$折到边 $\mathit{CD}$上，使边 $\mathit{AB}$经过点 $E$，折痕为 $\mathit{GH}$，点 $B$的对应点为 $M$，点 $A$的对应点为 $N$

（1）若 $\mathit{CM}=x$，则 $\mathit{CH}=$　                         　（用含 $x$的代数式表示）；

（2）求折痕 $\mathit{GH}$的长．

如图，已知 $▱\mathit{ABCD}$的三个顶点 $A(n,0)$、 $B(m,0)$、 $D(0$， $2n\left)\right(m>n>0)$，作 $▱\mathit{ABCD}$关于直线 $\mathit{AD}$的对称图形 $A{B}_1{C}_{1}D$

（1）若 $m=3$，试求四边形 $C{C}_1{B}_{1}B$面积 $S$的最大值；

（2）若点 $B_1$恰好落在 $y$轴上，试求 $\frac{n}{m}$的值．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$， $D$是边 $\mathit{AB}$上一动点 $(A$、 $B$两点除外），将 $\mathit{\Delta CAD}$绕点 $C$按逆时针方向旋转角 $\alpha$得到 $\mathit{\Delta CEF}$，其中点 $E$是点 $A$的对应点，点 $F$是点 $D$的对应点．

（1）如图1，当 $\alpha =90°$时， $G$是边 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{BG}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{GF}$．求证： $\mathit{GF}//\mathit{AC}$；

（2）如图2，当 $90°⩽\alpha ⩽180°$时， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$相交于点 $M$．

①当点 $M$与点 $C$、 $D$不重合时，连接 $\mathit{CM}$，求 $\angle \mathit{CMD}$的度数；

②设 $D$为边 $\mathit{AB}$的中点，当 $\alpha$从 $90°$变化到 $180°$时，求点 $M$运动的路径长．

如图， 在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=8\mathit{cm}$，点 $P$从点 $B$出发， 沿对角线 $\mathit{BD}$向点 $D$匀速运动， 速度为 $4\mathit{cm}/s$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{BD}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，以 $\mathit{PQ}$为一边作正方形 $\mathit{PQMN}$，使得点 $N$落在射线 $\mathit{PD}$上， 点 $O$从点 $D$出发， 沿 $\mathit{DC}$向点 $C$匀速运动， 速度为 $3\mathit{cm}/s$，以 $O$为圆心， $0.8\mathit{cm}$为半径作 $\odot O$，点 $P$与点 $O$同时出发， 设它们的运动时间为 $t$（单 位： $s\left)\right(0<t<\frac{8}{5})$．

（1） 如图 1 ，连接 $\mathit{DQ}$平分 $\angle \mathit{BDC}$时， $t$的值为　   　；

（2） 如图 2 ，连接 $\mathit{CM}$，若 $\mathit{\Delta CMQ}$是以 $\mathit{CQ}$为底的等腰三角形， 求 $t$的值；

（3） 请你继续进行探究， 并解答下列问题：

①证明： 在运动过程中， 点 $O$始终在 $\mathit{QM}$所在直线的左侧；

②如图 3 ，在运动过程中， 当 $\mathit{QM}$与 $\odot O$相切时， 求 $t$的值；并判断此时 $\mathit{PM}$与 $\odot O$是否也相切？说明理由 ．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=5$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{CO}\perp \mathit{AB}$于点 $O$， $D$是线段 $\mathit{OB}$上一点， $\mathit{DE}=2$， $\mathit{ED}//\mathit{AC}(\angle \mathit{ADE}<90°)$，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$的中点分别为 $P$、 $Q$．

（1）求 $\mathit{AO}$的长；

（2）求 $\mathit{PQ}$的长；

（3）设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$的交点为 $M$，请直接写出 $|\mathit{PM}-\mathit{MQ}|$的值．

如图， $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点， $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于 $F$、 $G$两点，且与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别相切于点 $D$、 $E$， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，连接 $\mathit{DF}$、 $\mathit{EG}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（2）已知 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=12$，求四边形 $\mathit{DFGE}$是矩形时 $\odot O$的半径．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$ 　 $=$ 　 $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x+2$ 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．