初中数学平行线分线段成比例解答题

（1）如图1， $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①线段 $\mathit{DB}$和 $\mathit{DG}$的数量关系是　　；

②写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$和 $\mathit{DB}$之间的数量关系．

（2）当四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$是菱形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$所在直线上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $120°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①如图2，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上时，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{DE}$交射线 $\mathit{BC}$于点 $M$，若 $\mathit{BE}=1$， $\mathit{AB}=2$，直接写出线段 $\mathit{GM}$的长度．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{AC}$，点 $E$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度沿着 $B\to A\to C$的路径运动，运动时间为 $t$（秒 $)$．过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部作正方形 $\mathit{EFGH}$．

（1）如图，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$时，

①若点 $H$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连结 $\mathit{AH}$、 $\mathit{CH}$，求证： $\mathit{AH}=\mathit{CH}$；

②当 $0<t⩽8$时，设正方形 $\mathit{EFGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的重叠部分面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（2）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$时，若直线 $\mathit{AH}$将矩形 $\mathit{ABCD}$的面积分成 $1:3$两部分，求 $t$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，已知 $D$是 $\mathit{BC}$边的中点， $G$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，过 $G$点的直线分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）如图1，当 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$时，求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{AE}}+\frac{\mathit{CF}}{\mathit{AF}}=1$；

（2）如图2，当 $\mathit{EF}$和 $\mathit{BC}$不平行，且点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上或点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$，使以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $\mathit{AB}$三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$，使以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $\mathit{AB}$三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

如图， 一座钢结构桥梁的框架是 $\mathit{\Delta ABC}$，水平横梁 $\mathit{BC}$长 18 米， 中柱 $\mathit{AD}$高 6 米， 其中 $D$是 $\mathit{BC}$的中点， 且 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$．

（1） 求 $\sin B$的值；

（2） 现需要加装支架 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$，其中点 $E$在 $\mathit{AB}$上， $\mathit{BE}=2\mathit{AE}$，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $F$，求支架 $\mathit{DE}$的长 ．

数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为 $12\mathit{cm}$的铅笔 $\mathit{AB}$斜靠在垂直于水平桌面 $\mathit{AE}$的直尺 $\mathit{FO}$的边沿上，一端 $A$固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔 $\mathit{AB}$绕端点 $A$顺时针旋转， $\mathit{AB}$与 $\mathit{OF}$交于点 $D$，当旋转至水平位置时，铅笔 $\mathit{AB}$的中点 $C$与点 $O$重合．

数学思考

（1）设 $\mathit{CD}=\mathit{xcm}$，点 $B$到 $\mathit{OF}$的距离 $\mathit{GB}=\mathit{ycm}$．

①用含 $x$的代数式表示： $\mathit{AD}$的长是　 $(6+x)$　 $\mathit{cm}$， $\mathit{BD}$的长是　　 $\mathit{cm}$；

② $y$与 $x$的函数关系式是　　，自变量 $x$的取值范围是　　．

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

$x\left(\mathit{cm}\right)$	6	5	4	3.5	3	2.5	2	1	0.5	0
$y\left(\mathit{cm}\right)$	0	0.55	1.2	1.58		2.47	3	4.29	5.08

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点 $(x,y)$．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，

求：（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．

已知反比例函数的图象经过点A（－2，3）．
（1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）经过点A的正比例函数的图象与反比例函数图象还有其他的交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由．

已知反比例函数y₁=的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．

（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出使y₁＞y₂成立的自变量x的取值范围．

已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，轴于点E，．求该反比例函数的解析式．

如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，曲线（k＞0）经过点D，交BC于点E．

（1）求曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．

如图在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA＝5，E为x轴上一点，且sin ∠AOE＝．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式﹤kx＋b的x的取值范围．

如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．求A，B两点的坐标．

如图，已知反比例函数和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．