初中数学旋转的性质试题

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle A=30°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$．将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $B$逆时针方向旋转得到△ $A^{\text{'}}B{C}^{\text{'}}$．此时恰好点 $C$在 $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$上， $A^{\text{'}}B$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，则 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积之比为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $\frac{1}{2}$C． $\frac{2}{3}$D． $\frac{3}{4}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$是有公共顶点的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$，点 $P$为射线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$的交点．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=1$，把 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转，当 $\angle \mathit{EAC}=90°$时，求 $\mathit{PB}$的长；

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{BC}$翻折得到 $\mathit{\Delta DBC}$，再将 $\mathit{\Delta DBC}$绕 $C$点逆时针旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta FEC}$，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{EF}$于 $H$．已知 $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AC}=1$，则四边形 $\mathit{CDHF}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{12}$B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，边长 $\mathit{AB}=1$，将正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $180°$至正方形 $A{B}_1{C}_1{D}_1$，则线段 $\mathit{CD}$扫过的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{\pi }{4}$B． $\frac{\pi }{2}$C． $\pi$D． $2\pi$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $A$逆时针方向旋转 $40°$得到 $\mathit{\Delta ADE}$，点 $B$经过的路径为弧 $\mathit{BD}$，是图中阴影部分的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{14}{3}\pi -6$B． $\frac{25}{9}\pi$C． $\frac{33}{8}\pi -3$D． $\sqrt{33}+\pi$

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$于点 $N$， $\angle \mathit{EMF}=135°$．将 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转，使 $\angle \mathit{EMF}$的两边交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，请解答下列问题：

（1）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图①的位置时，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}=\mathit{BM}$；

（2）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{BM}$之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下， $\tan \angle \mathit{BEM}=\sqrt{3}$， $\mathit{AN}=\sqrt{2}+1$，则 $\mathit{BM}=$　　， $\mathit{CF}=$　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $30°$后得到 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$，点 $B$经过的路径为弧 $\mathit{BD}$，则图中阴影部分的面积为　　．

下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转 $90°$得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第　　个箭头方向相同（填序号）．

如图，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕直角顶点 $C$顺时针旋转 $90°$，得到△ $A\text{'}B\text{'}C$，连接 $B{B}^{\text{'}}$，若 $\angle A\text{'}B\text{'}B=20°$，则 $\angle A$的度数是　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $M$在 $\mathit{CD}$的边上，且 $\mathit{DM}=1$， $\mathit{\Delta AEM}$与 $\mathit{\Delta ADM}$关于 $\mathit{AM}$所在的直线对称，将 $\mathit{\Delta ADM}$按顺时针方向绕点 $A$旋转 $90°$得到 $\mathit{\Delta ABF}$，连接 $\mathit{EF}$，则线段 $\mathit{EF}$的长为 $($　　 $)$

A．3B． $2\sqrt{3}$C． $\sqrt{13}$D． $\sqrt{15}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=2$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $B$顺时针方向旋转到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$的位置，此时点 $A\text{'}$恰好在 $\mathit{CB}$的延长线上，则图中阴影部分的面积为　　（结果保留 $\pi )$．

如图，把腰长为8的等腰直角三角板 $\mathit{OAB}$的一直角边 $\mathit{OA}$放在直线 $l$上，按顺时针方向在 $l$上转动两次，使得它的斜边转到 $l$上，则直角边 $\mathit{OA}$两次转动所扫过的面积为　　．

请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．求证： $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $\frac{1}{2}{a}^2$．（提示：过点 $D$作 $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{DE}$，可证 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta BDE}$）

（2）探究2：如图2，在一般的 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．请用含 $a$的式子表示 $\mathit{\Delta BCD}$的面积，并说明理由．

（3）探究3：如图3，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．试探究用含 $a$的式子表示 $\mathit{\Delta BCD}$的面积，要有探究过程．

如图，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕直角顶点 $C$顺时针旋转 $90°$，得到 $\mathit{\Delta DEC}$，连接 $\mathit{AD}$，若 $\angle \mathit{BAC}=25°$，则 $\angle \mathit{BAD}=$　      　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$， $\text{Rt}\Delta \text{OEF}$绕点 $O$旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的面积是正方形面积的 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{4}$B． $\frac{1}{3}$C． $\frac{1}{2}$D． $\frac{3}{4}$