初中数学圆内接四边形的性质解答题

如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．

（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．
①求证：AD=AF+2DM；
②若AF=10，AN=12，则MD的长为  ．

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G．

（1）猜想并证明线段GF与GC的数量关系；
（2）若将图1中的正方形改成矩形，其它条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；
（3）若将图1中的正方形改成平行四边形，其它条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $\angle E$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle A$的遥望角，若 $\angle A=\alpha$，请用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle E$．

（2）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，四边形 $\mathit{ABCD}$的外角平分线 $\mathit{DF}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $E$．求证： $\angle \mathit{BEC}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$，若 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径．

①求 $\angle \mathit{AED}$的度数；

②若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积．

数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系．
请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题．
展示交流：
小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H．我们可以证明△BCQ≌△ACD，从而易得BQ=AD，BQ⊥AD．
小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的．但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑．
（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由．
（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）．

（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是            ．
拓展延伸：
根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T．则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由．

如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C→B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距离为       ；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；
（3）在（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△MPQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值是四边形MPAQ的面积的一半，此时，指出四边形MPAQ的形状．

如图，在直角坐标系中，四边形OABC的OA，OC两边分别在x，y轴上，OA∥BC，BC=15cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，4）．点P，Q分别从C，A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q到达点O时，点P也停止运动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）．

（1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？
（2）求当t为多少时？PQ所在直线将四边形OABC分成左右两部分的面积比为1：2；
（3）直接写出在（2）的情况下，直线PQ的函数关系式．

已知矩形长和宽分别为4和2，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的？若存在请计算这个矩形的两边长，若不存在请说明理由．

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S_△AB′C′：S_△ABC=           ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为          度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为_____，点D的坐标为______ （用t表示）；
（2）求证：PE=AP+CE
（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的高，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$ ；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$ ，求 $\mathit{HF}$ 的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AD}$ 为直径，点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ECB}$ ；

（2）若 $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\angle \mathit{CAD}=30°$ ，连接 $\mathit{OC}$ ，如图2．

①请判断四边形 $\mathit{ABCO}$ 的形状，并说明理由；

②当 $\mathit{AB}=2$ 时，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 围成阴影部分的面积．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，点 $C$在劣弧 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$， $B$重合），点 $D$为弦 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $E$，射线 $\mathit{AO}$与射线 $\mathit{EB}$交于点 $F$，与 $\odot O$交于点 $G$，设 $\angle \mathit{GAB}=\alpha$， $\angle \mathit{ACB}=\beta$， $\angle \mathit{EAG}+\angle \mathit{EBA}=\gamma$，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

$\alpha$	$30°$	$40°$	$50°$	$60°$
$\beta$	$120°$	$130°$	$140°$	$150°$
$\gamma$	$150°$	$140°$	$130°$	$120°$

猜想： $\beta$关于 $\alpha$的函数表达式， $\gamma$关于 $\alpha$的函数表达式，并给出证明；

（2）若 $\gamma =135°$， $\mathit{CD}=3$， $\mathit{\Delta ABE}$的面积为 $\mathit{\Delta ABC}$的面积的4倍，求 $\odot O$半径的长．

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．

（1）用含有t的代数式表示PE=           ；
（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系          时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．