初中数学圆试题

如图，在边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$交于点 $P$，连接 $\mathit{CP}$，则 $\mathit{CP}$的最小值为 　　．

如图，直线 $y=-2x+2$ 与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $y=-x+3$ 于点 $Q$ ， $\mathit{\Delta OPQ}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45°$ ，边 $\mathit{PQ}$ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2}{3}\pi$

B．

$\frac{1}{2}\pi$

C．

$\frac{11}{16}\pi$

D．

$\frac{21}{32}\pi$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆， $\mathit{AE}$ 是直径，交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=2$ ， $\mathit{AH}=\mathit{CG}=3$ ，求 $\mathit{EF}$ 和 $\mathit{CD}$ 的长．

图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 $2)$ ，则图1中所标注的 $d$ 的值为 　　；记图1中小正方形的中心为点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，图2中的对应点为点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．以大正方形的中心 $O$ 为圆心作圆，则当点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ 在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　　．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部的一点，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{CP}$ ．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$ 上时，连接 $\mathit{AP}$ ，在 $\mathit{BC}$ 边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$ ， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$ ，连接 $\mathit{DP}$ ，求 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$ ，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$ 时，连接 $\mathit{EP}$ 并延长，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$ ，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$ 时，连接 $\mathit{MP}$ ．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$ ， $\mathit{AB}=6a$ ， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta BCP}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1-S_2$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作 $\angle \mathit{BAC}$ 平分线的垂线，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ， $\mathit{BC}$ 的中点是 $M$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{MD}$ ， $\mathit{ME}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CD}=2\mathit{ME}$

B．

$\mathit{ME}//\mathit{AB}$

C．

$\mathit{BD}=\mathit{CD}$

D．

$\mathit{ME}=\mathit{MD}$

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 是 $\odot O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{DCA}=\angle \mathit{ABC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{DC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\frac{\mathit{OA}}{\mathit{OD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{BE}=3$ ，求 $\mathit{DA}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ，点 $C$ 是 $\odot O$ 上的一个动点，且 $\angle \mathit{ACB}=60°$ ，若点 $M$ ， $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 　　．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

如图， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $M$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OM}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\mathit{CD}$ 平分 $\angle \mathit{ACE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{DBE}$ ；

（3）若 $\mathit{DE}=6$ ， $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{2}{3}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图， $\odot O$的半径为1，点 $A$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$为 $\odot O$上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$， $\angle A=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BND}}$上运动（不与 $B$、 $D$重合），过点 $C$作 $\mathit{CE}$的垂线，与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $F$．

①当点 $E$运动到与点 $C$关于直径 $\mathit{BD}$对称时，求 $\mathit{CF}$的长；

②当点 $E$运动到什么位置时， $\mathit{CF}$取到最大值，并求出此时 $\mathit{CF}$的长．

如图， $\angle \mathit{MON}=40°$ ，以 $O$ 为圆心，4为半径作弧交 $\mathit{OM}$ 于点 $A$ ，交 $\mathit{ON}$ 于点 $B$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧在 $\angle \mathit{MON}$ 的内部相交于点 $C$ ，画射线 $\mathit{OC}$ 交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $\mathit{OA}$ 上一动点，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则阴影部分周长的最小值为 　　．