初中数学矩形的性质解答题

已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点，点是线段上一定点（其中

（1）如图1，若点在边上（不与重合），将绕点逆时针旋转后，角的两边、分别交射线于点、．

①求证：；      ②探究：、、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展：如图2，若点在的延长线上（不与重合），过点作，交射线于点，你认为（1）中、、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， 为原点，四边形 是矩形，点 ， 的坐标分别是 和 $C(2\sqrt{3},0)$ ，点 是对角线 上一动点（不与 ， 重合），连结 ，作 ，交 轴于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．

（1）填空：点 的坐标为 　　；

（2）是否存在这样的点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出 的长度；若不存在，请说明理由；

（3）①求证： $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DB}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

②设 ，矩形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式（可利用①的结论），并求出 的最小值．

在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点， $\frac{\mathit{EH}}{\mathit{EG}}=3$，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证： $\frac{\mathit{EC}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{EH}}{\mathit{BH}}$；

（2）若∠CGF＝90°，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$的值．

如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$    $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k>0)$ ，点 $E$ 是线段 $\mathit{CB}$ 延长线上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AE}$ 交射线 $\mathit{DC}$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $k=1$ ，则 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　 　；

（2）如图2，若 $k\ne 1$ ，试判断 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 $k$ 的式子表示）

（3）若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{EG}$ ，当 $\mathit{CF}=1$ 时，求 $\mathit{EG}$ 的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 的垂直平分线分别与边 $\mathit{AB}$ 和边 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $M$ ， $N$ ，与边 $\mathit{AD}$ 交于点 $E$ ，垂足为点 $O$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AOM}\cong \mathit{\Delta CON}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=6$ ，请直接写出 $\mathit{AE}$ 的长为 　　．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+\frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$ ，过点 $A$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ． $P$ 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp l$ 于点 $Q$ ， $M$ 是直线 $l$ 上的一点，其纵坐标为 $-m+\frac{3}{2}$ ．以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为边作矩形 $\mathit{PQMN}$ ．

（1）求 $b$ 的值．

（2）当点 $Q$ 与点 $M$ 重合时，求 $m$ 的值．

（3）当矩形 $\mathit{PQMN}$ 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 $m$ 的值．

（4）当抛物线在矩形 $\mathit{PQMN}$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，直接写出 $m$ 的取值范围．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{AD})$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $\mathit{DC}$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上．求证：四边形 $\mathit{AEA}\text{'}D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A\text{'}\mathit{DE}$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A\text{'}$ 沿 $\mathit{DC}$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $\mathit{PF}$ ，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，点 $P$ 在 $\mathit{AB}$ 上，那么 $\mathit{\Delta PQF}$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $\mathit{QC}=\mathit{QP}$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $\mathit{QG}$ ，点 $G$ 在 $\mathit{AB}$ 上．要使四边形 $\mathit{PGQF}$ 为菱形，则 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=$ 　 　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ，点 $E$ 为边 $\mathit{CD}$ 上的一点（与 $C$ 、 $D$ 不重合），四边形 $\mathit{ABCE}$ 关于直线 $\mathit{AE}$ 的对称图形为四边形 $\mathit{ANME}$ ，延长 $\mathit{ME}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $P$ ，记四边形 $\mathit{PADE}$ 的面积为 $S$ ．

（1）若 $\mathit{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $S$ 的值；

（2）设 $\mathit{DE}=x$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta DFA}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $\mathit{DE}$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $\mathit{BC}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ ，求 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{DE}}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{EP}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　 　；

（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，记，，求的值．