初中数学矩形的性质解答题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$． $M$、 $N$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}$， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta CDN}$；

（2）点 $G$是对角线 $\mathit{AC}$上的点， $\angle \mathit{EGF}=90°$，求 $\mathit{AG}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=4$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BE}=3$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DFA}$；

（2）连接 $\mathit{CF}$，求 $\sin \angle \mathit{DCF}$的值；

（3）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$，求 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GC}}$的值．

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，使点 $B\text{'}$落在矩形 $\mathit{ABCD}$所在平面内， $B^{\text{'}}C$和 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，连接 $B\text{'}D$．

解决问题

（1）在图1中，

① $B\text{'}D$和 $\mathit{AC}$的位置关系为　　；

②将 $\mathit{\Delta AEC}$剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(\mathit{AB}\ne \mathit{BC})$，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$，当△ $\mathit{AB}\text{'}D$恰好为直角三角形时， $\mathit{BC}$的长度为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的两边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$的长分别为3、8， $E$是 $\mathit{DC}$的中点，反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点 $E$，与 $\mathit{AB}$交于点 $F$．

（1）若点 $B$坐标为 $(-6,0)$，求 $m$的值及图象经过 $A$、 $E$两点的一次函数的表达式；

（2）若 $\mathit{AF}-\mathit{AE}=2$，求反比例函数的表达式．

将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，得到矩形 $\mathit{AEFG}$．

（1）如图，当点 $E$在 $\mathit{BD}$上时．求证： $\mathit{FD}=\mathit{CD}$；

（2）当 $\alpha$为何值时， $\mathit{GC}=\mathit{GB}$？画出图形，并说明理由．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，顶点 $B$恰好与 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$重合（点 $P$不与点 $C$， $D$重合），折痕为 $\mathit{MN}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{MP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{MN}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFN}\backsim \mathit{\Delta BCP}$；

（2）①在图2中，作出经过 $M$， $D$， $P$三点的 $\odot O$（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $\mathit{AB}=4$，随着点 $P$在 $\mathit{CD}$上的运动，若①中的 $\odot O$恰好与 $\mathit{BM}$， $\mathit{BC}$同时相切，求此时 $\mathit{DP}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为一个矩形纸片， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=2$，动点 $P$自 $D$点出发沿 $\mathit{DC}$方向运动至 $C$点后停止， $\mathit{\Delta ADP}$以直线 $\mathit{AP}$为轴翻折，点 $D$落在点 $D_1$的位置．设 $\mathit{DP}=x$，△ $A{D}_{1}P$与原纸片重叠部分的面积为 $y$．

（1）当 $x$为何值时，直线 $A{D}_1$过点 $C$？

（2）当 $x$为何值时，直线 $A{D}_1$过 $\mathit{BC}$的中点 $E$？

（3）求出 $y$与 $x$的函数表达式．

已知： $\text{Rt}\Delta \text{EFP}$和矩形 $\mathit{ABCD}$如图①摆放（点 $P$与点 $B$重合），点 $F$， $B\left(P\right)$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=\mathit{FP}=8\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFP}=90°$．如图②， $\mathit{\Delta EFP}$从图①的位置出发，沿 $\mathit{BC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$， $\mathit{EP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $G$；同时，点 $Q$从点 $C$出发，沿 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$．过点 $Q$作 $\mathit{QM}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{PQ}$，当点 $Q$停止运动时， $\mathit{\Delta EFP}$也停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BD}$？

（2）设五边形 $\mathit{AFPQM}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$，求 $y$与 $t$之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形AFPQM}}:S_{\mathit{矩形ABCD}}=9:8$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $M$在线段 $\mathit{PG}$的垂直平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BM}$，同时得到线段 $\mathit{BN}$， $\mathit{MN}$．请你观察图1，猜想 $\angle \mathit{MBN}$的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $\mathit{BMN}$剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $\mathit{MN}$与 $\mathit{BM}$的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$于点 $F$．求证： $\mathit{AB}=\mathit{DF}$．

如图1，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=5\mathit{cm}$，折叠纸片使 $B$点落在边 $\mathit{AD}$上的 $E$处，折痕为 $\mathit{PQ}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{PQ}$于 $F$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BFEP}$为菱形；

（2）当点 $E$在 $\mathit{AD}$边上移动时，折痕的端点 $P$、 $Q$也随之移动；

①当点 $Q$与点 $C$重合时（如图 $2)$，求菱形 $\mathit{BFEP}$的边长；

②若限定 $P$、 $Q$分别在边 $\mathit{BA}$、 $\mathit{BC}$上移动，求出点 $E$在边 $\mathit{AD}$上移动的最大距离．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，延长 $\mathit{CB}$至点 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$，连按 $\mathit{AE}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADBE}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{OB}=\frac{5}{2}$，求四边形 $\mathit{ADBE}$的周长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形 $(\mathit{AB}<\mathit{BC})$，要在矩形 $\mathit{ABCD}$内作一个以 $\mathit{AB}$为边的正方形 $\mathit{ABEF}$，某位同学的作法如下：

①作 $\angle \mathit{ABC}$的平分线 $\mathit{BM}$． $\mathit{BM}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$；

②以点 $B$为圆心， $\mathit{BA}$长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形；

（2）若 $\mathit{AB}=5$，求图中阴影部分的面积．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AB}$边上的一点，点 $F$为对角线 $\mathit{BD}$上的一点，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$．

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

①如图1，请直接写出 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系　 $\mathit{DF}=\sqrt{2}\mathit{AE}$　；

②将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}$，猜想 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $\mathit{BC}=\mathit{mAB}$，其它条件都不变，将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $E^{\text{'}}B{F}^{\text{'}}$，连接 $A{E}^{\text{'}}$， $D{F}^{\text{'}}$，请在图3中画出草图，并直接写出 $A{E}^{\text{'}}$与 $D{F}^{\text{'}}$的数量关系．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}$ 上的点， $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$ ，且 $\mathit{AE}=\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=\frac{2}{5}\mathit{AD}$ ，求 $\tan \angle \mathit{AFE}$ ．