如图,在矩形 中, , , 、 分别是边 、 上一点, ,将 沿 翻折得△ ,连接 ,当 时, 是以 为腰的等腰三角形.
如图,在矩形 中, , .动点 从点 出发沿折线 向终点 运动,在边 上以 的速度运动;在边 上以 的速度运动,过点 作线段 与射线 相交于点 ,且 ,连接 , .设点 的运动时间为 , 与 重合部分图形的面积为 .
(1)当点 与点 重合时,直接写出 的长;
(2)当点 在边 上运动时,直接写出 的长(用含 的代数式表示);
(3)求 关于 的函数解析式,并写出自变量 的取值范围.
如图,矩形纸片 , , ,点 、 分别在矩形的边 、 上,将矩形纸片沿直线 折叠,使点 落在矩形的边 上,记为点 ,点 落在 处,连接 ,交 于点 ,连接 .下列结论:①四边形 是菱形;②点 与点 重合时, ;③ 的面积 的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是
A. |
①②③ |
B. |
①② |
C. |
①③ |
D. |
②③ |
如图,在矩形 中, 是边 上一点, , ,垂足为 .将四边形 绕点 顺时针旋转 ,得到四边形 , 所在的直线分别交直线 于点 ,交直线 于点 ,交 于点 . 所在的直线分别交直线 于点 ,交直线 于点 ,连接 交 于点 .
(1)如图1,求证:四边形 是正方形;
(2)如图2,当点 和点 重合时.
①求证: ;
②若 , ,求线段 的长;
(3)如图3,若 交 于点 , ,求 的值.
如图,在 中, ,点 在 边上,过 , , 三点的 交 边于另一点 ,且 是 的中点, 是 的一条直径,连接 并延长交 边于 点.
(1)求证:四边形 为平行四边形;
(2)当 时,求 的值.
如图所示,在矩形纸片 中, , ,点 、 分别是矩形的边 、 上的动点,将该纸片沿直线 折叠.使点 落在矩形边 上,对应点记为点 ,点 落在 处,连接 、 、 , 与 交于点 .则下列结论成立的是
① ;
②当点 与点 重合时, ;
③ 的面积 的取值范围是 ;
④当 时, .
A. |
①③ |
B. |
③④ |
C. |
②③ |
D. |
②④ |
如图,在矩形 中, , ,将此矩形折叠,使点 与点 重合,点 落在点 处,折痕为 ,则 的长为 , 的长为 .
问题解决:如图1,在矩形 中,点 , 分别在 , 边上, , 于点 .
(1)求证:四边形 是正方形;
(2)延长 到点 ,使得 ,判断 的形状,并说明理由.
类比迁移:如图2,在菱形 中,点 , 分别在 , 边上, 与 相交于点 , , , , ,求 的长.
如图,在矩形 中, , ,点 , 分别是边 , 上的动点,点 不与 , 重合,且 , 是五边形 内满足 且 的点.现给出以下结论:
① 与 一定互补;
②点 到边 , 的距离一定相等;
③点 到边 , 的距离可能相等;
④点 到边 的距离的最大值为 .
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
如图1,矩形 中, , , 中, , , , 的延长线相交于点 ,且 , , .将 绕点 逆时针旋转 得到△ .
(1)当 时,求点 到直线 的距离.
(2)在图1中,取 的中点 ,连结 ,如图2.
①当 与矩形 的一条边平行时,求点 到直线 的距离.
②当线段 与矩形 的边有且只有一个交点时,求该交点到直线 的距离的取值范围.
[性质探究]
如图,在矩形 中,对角线 , 相交于点 , 平分 ,交 于点 .作 于点 ,分别交 , 于点 , .
(1)判断 的形状并说明理由.
(2)求证: .
[迁移应用]
(3)记 的面积为 , 的面积为 ,当 时,求 的值.
[拓展延伸]
(4)若 交射线 于点 ,[性质探究]中的其余条件不变,连结 ,当 的面积为矩形 面积的 时,请直接写出 的值.
如图1,已知四边形 是矩形,点 在 的延长线上, . 与 相交于点 ,与 相交于点 , .
(1)求证: ;
(2)若 ,求 的长;
(3)如图2,连接 ,求证: .
问题提出
(1)如图1,在 中, , , 的平分线交 于点 .过点 分别作 , .垂足分别为 , ,则图1中与线段 相等的线段是 .
问题探究
(2)如图2, 是半圆 的直径, . 是 上一点,且 ,连接 , . 的平分线交 于点 ,过点 分别作 , ,垂足分别为 , ,求线段 的长.
问题解决
(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知 的直径 ,点 在 上,且 . 为 上一点,连接 并延长,交 于点 .连接 , .过点 分别作 , ,垂足分别为 , .按设计要求,四边形 内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设 的长为 ,阴影部分的面积为 .
①求 与 之间的函数关系式;
②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当 的长度为 时,整体布局比较合理.试求当 时.室内活动区(四边形 的面积.
在 中, , .点 在直线 上,以 , 为边作矩形 ,直线 与直线 , 的交点分别为 , .
(1)如图,点 在线段 上,四边形 是正方形.
①若点 为 的中点,求 的长.
②若 ,求 的长.
(2)已知 ,是否存在点 ,使得 是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.