初中数学三角形中位线定理解答题

△ABC为等边三角形， $\mathit{AB}＝8$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点D，E为线段 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{AE}＝2\sqrt{3}$．以AE为边在直线 $\mathit{AD}$右侧构造等边三角形 $\mathit{AEF}$，连接 $\mathit{CE}$，N为 $\mathit{CE}$的中点．

（1）如图1， $\mathit{EF}与\mathit{AC}$交于点G，连接 $\mathit{NG}$，求线段 $\mathit{NG}$的长；

（2）如图2，将 $△\mathit{AEF}$绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接 $\mathit{DN}$， $\mathit{MN}$．当 $30°＜\alpha ＜120°$时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在 $△\mathit{AEF}$绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 $△\mathit{ADN}$的面积．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为1， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上任意一点（端点除外），线段 $\mathit{CE}$ 的垂直平分线交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CE}$ 分别于点 $F$ ， $G$ ， $\mathit{AE}$ ， $\mathit{EF}$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{EF}$ ；

（2）求 $\mathit{MN}+\mathit{NG}$ 的最小值；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上运动时， $\angle \mathit{CEF}$ 的大小是否变化？为什么？

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

如图，已知线段 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$于点 $M$，且 $\mathit{AM}=\mathit{BM}$， $P$是射线 $\mathit{MN}$上一动点， $E$， $D$分别是 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$的中点，过点 $A$， $M$， $D$的圆与 $\mathit{BP}$的另一交点 $C$（点 $C$在线段 $\mathit{BD}$上），连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$．

（1）当 $\angle \mathit{APB}=28°$时，求 $\angle B$和 $\stackrel{̂}{\mathit{CM}}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AB}$．

（3）在点 $P$的运动过程中

①当 $\mathit{MP}=4$时，取四边形 $\mathit{ACDE}$一边的两端点和线段 $\mathit{MP}$上一点 $Q$，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$为锐角顶点，求所有满足条件的 $\mathit{MQ}$的值；

②记 $\mathit{AP}$与圆的另一个交点为 $F$，将点 $F$绕点 $D$旋转 $90°$得到点 $G$，当点 $G$恰好落在 $\mathit{MN}$上时，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{DG}$， $\mathit{EG}$，直接写出 $\mathit{\Delta ACG}$和 $\mathit{\Delta DEG}$的面积之比．

在直角坐标系中，过原点 $O$及点 $A(8,0)$， $C(0,6)$作矩形 $\mathit{OABC}$、连接 $\mathit{OB}$，点 $D$为 $\mathit{OB}$的中点，点 $E$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，连接 $\mathit{DE}$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$，交 $\mathit{OA}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．已知点 $E$从 $A$点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $\mathit{AB}$上移动，设移动时间为 $t$秒．

（1）如图1，当 $t=3$时，求 $\mathit{DF}$的长．

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上移动的过程中， $\angle \mathit{DEF}$的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan \angle \mathit{DEF}$的值．

（3）连接 $\mathit{AD}$，当 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta DEF}$分成的两部分的面积之比为 $1:2$时，求相应的 $t$的值．

如图1，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝30°， AC＝4， D是 AB的中点， EF是△ ACD的中位线，矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上．

（1）求线段 EF、 FG的长；

（2）如图2，将矩形 EFGH沿 AB向右平移，点 F落在 BC上时停止移动，设矩形移动的距离为 x，矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S，求出 S关于 x的函数解析式；

（3）如图3，矩形 EFGH平移停止后，再绕点 G按顺时针方向旋转，当点 H落在 CD边上时停止旋转，此时矩形记作 E ₁ F ₁ GH ₁，设旋转角为α，求cosα的值．

如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．

（1）如图1，如果，求弦的长；

（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；

（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．