初中数学勾股定理的应用试题

在△ABC中， $\mathit{AB}＝15$， $\mathit{BC}＝14$， $\mathit{AC}＝13$，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E， $\angle \mathit{DAB}＝\angle \mathit{CDB}＝90°$， $\angle \mathit{ABD}＝45°$， $\angle \mathit{DCA}＝30°$， $\mathit{AB}＝\sqrt{6}$，则AE＝　　（提示：可过点A作BD的垂线）

如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝　　．

如图的三角形纸片中，AB＝AC，BC＝12cm，∠C＝30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为　　cm．

如图，四边形 $\mathit{OA}{A}_1{B}_1$ 是边长为1的正方形，以对角线 $O{A}_1$ 为边作第二个正方形 $O{A}_1{A}_2{B}_2$ ，连接 $A{A}_2$ ，得到△ $A{A}_1{A}_2$ ；再以对角线 $O{A}_2$ 为边作第三个正方形 $O{A}_2{A}_3{B}_3$ ，连接 $A_1{A}_3$ ，得到△ $A_1{A}_2{A}_3$ ，再以对角线 $O{A}_3$ 为边作第四个正方形 $O{A}_2{A}_4{B}_4$ ，连接 $A_2{A}_4$ ，得到△ $A_2{A}_3{A}_4$ ， $\dots$ ，设△ $A{A}_1{A}_2$ ，△ $A_1{A}_2{A}_3$ ，△ $A_2{A}_3{A}_4$ ， $\dots$ ，的面积分别为 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ ， $\dots$ ，如此下去，则 $S_{2020}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2^{2020}}$

B．

$2^{2018}$

C．

$2^{2018}+\frac{1}{2}$

D．

1010

我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是 $x$ 尺．根据题意，可列方程为 $($ 　　 $)$

A．	$x^2+{10}^2={(x+1)}^2$	B．	${(x-1)}^2+5^2=x^2$
C．	$x^2+5^2={(x+1)}^2$	D．	${(x-1)}^2+{10}^2=x^2$

《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道"折竹"问题："今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？"题意是：一根竹子原高1丈 $(1$ 丈 $=10$ 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面    　尺高．

《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙 $\mathit{CD}$ 的距离为2寸，点 $C$ 和点 $D$ 距离门槛 $\mathit{AB}$ 都为1尺 $(1$ 尺 $=10$ 寸），则 $\mathit{AB}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

50.5寸

B．

52寸

C．

101寸

D．

104寸

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{CE}$ 平分 $\angle \mathit{BCD}$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $\mathit{EA}=3$ ， $\mathit{EB}=5$ ， $\mathit{ED}=4$ ．则 $\mathit{CE}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

$5\sqrt{2}$

B．

$6\sqrt{2}$

C．

$4\sqrt{5}$

D．

$5\sqrt{5}$

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 $\left(\stackrel{̂}{\mathit{AB}}\right)$ ，点 $O$ 是这段弧所在圆的圆心， $\mathit{AB}=40m$ ，点 $C$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，且 $\mathit{CD}=10m$ ，则这段弯路所在圆的半径为 $($ 　　 $)$

A．

$25m$

B．

$24m$

C．

$30m$

D．

$60m$

《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个"折竹抵地"问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子 $(1$ 丈 $=10$ 尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为 $($ 　　 $)$

A．

5.45尺

B．

4.55尺

C．

5.8尺

D．

4.2尺

如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{24}{5}$

B．

$\frac{32}{5}$

C．

$\frac{12\sqrt{34}}{17}$

D．

$\frac{20\sqrt{34}}{17}$

在中，，，若边上的高等于3，则边的长为　　．

如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为　　．

勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了，，三地的坐标，数据如图（单位：．笔直铁路经过，两地．

（1），间的距离为　　；

（2）计划修一条从到铁路的最短公路，并在上建一个维修站，使到，的距离相等，则，间的距离为　　．