初中数学直角三角形的性质试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $O$， $D$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{OD}$，作 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，在 $\mathit{AC}$边上取一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DO}$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）判断直线 $\mathit{DF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\angle A=30°$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$时，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=20°$， $\mathit{PQ}$垂直平分 $\mathit{AB}$，垂足为 $Q$，交 $\mathit{BC}$于点 $P$．按以下步骤作图：①以点 $A$为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$；②分别以点 $D$， $E$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{DE}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $F$；③作射线 $\mathit{AF}$．若 $\mathit{AF}$与 $\mathit{PQ}$的夹角为 $\alpha$，则 $\alpha =$　    ．

如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 $S_1$，另两张直角三角形纸片的面积都为 $S_2$，中间一张正方形纸片的面积为 $S_3$，则这个平行四边形的面积一定可以表示为 $($　　 $)$

A． $4S_1$B． $4S_2$C． $4S_2+S_3$D． $3S_1+4S_3$

已知 $\odot O_1$ 的半径为 $r_1$ ， $\odot O_2$ 的半径为 $r_2$ ．以 $O_1$ 为圆心，以 $r_1+r_2$ 的长为半径画弧，再以线段 $O_1{O}_2$ 的中点 $P$ 为圆心，以 $\frac{1}{2}{O}_1{O}_2$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $A$ ，连接 $O_{1}A$ ， $O_{2}A$ ， $O_{1}A$ 交 $\odot O_1$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $O_{2}A$ 的平行线 $\mathit{BC}$ 交 $O_1{O}_2$ 于点 $C$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O_2$ 的切线；

（2）若 $r_1=2$ ， $r_2=1$ ， $O_1{O}_2=6$ ，求阴影部分的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于 $D$， $\mathit{BD}=\mathit{AD}$， $\mathit{DG}=\mathit{DC}$， $E$， $F$分别是 $\mathit{BG}$， $\mathit{AC}$的中点．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$；

（2）连接 $\mathit{EF}$，若 $\mathit{AC}=10$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AB}=2$， $\angle C=30°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$旋转得到 $\mathit{Rt}$△ $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}$，使点 $B$的对应点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上，在 $B\text{'}C\text{'}$上取点 $D$，使 $B\text{'}D=2$，那么点 $D$到 $\mathit{BC}$的距离等于 $($　　 $)$

A． $2(\frac{\sqrt{3}}{3}+1)$B． $\frac{\sqrt{3}}{3}+1$C． $\sqrt{3}-1$D． $\sqrt{3}+1$

如图，点 $E$正方形 $\mathit{ABCD}$外一点，点 $F$是线段 $\mathit{AE}$上一点， $\mathit{\Delta EBF}$是等腰直角三角形，其中 $\angle \mathit{EBF}=90°$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta CBE}$；

（2）判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状，并说明理由．

如图 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{CD}$是斜边 $\mathit{AB}$上的中线，已知 $\mathit{CD}=2$， $\mathit{AC}=3$，则 $\cos A=$　      　．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(1,0)$， $B(1-a,0)$， $C(1+a$， $0\left)\right(a>0)$，点 $P$在以 $D(4,4)$为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 $\angle \mathit{BPC}=90°$，则 $a$的最大值是　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AC}$的垂直平分线分别与 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$及 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $D$， $E$， $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BEF}$的外接圆， $\angle \mathit{EBF}$的平分线交 $\mathit{EF}$于点 $G$，交 $\odot O$于点 $H$，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{FH}$．

（1）试判断 $\mathit{BD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\mathit{AB}=\mathit{BE}=1$时，求 $\odot O$的面积；

（3）在（2）的条件下，求 $\mathit{HG}·\mathit{HB}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$是 $\mathit{AB}$边上的点，以 $O$为圆心， $\mathit{OB}$为半径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相切于点 $D$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{OD}$， $\mathit{AB}=12$， $\mathit{CD}$的长是 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}$B．2C． $3\sqrt{3}$D． $4\sqrt{3}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=\sqrt{5}$ ， $\mathit{BC}=2$ ，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 的长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $C$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 的长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$8-\pi$

B．

$4-\pi$

C．

$2-\frac{\pi }{4}$

D．

$1-\frac{\pi }{4}$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$，若 $\angle B=50°$，则 $\angle \mathit{DCA}$等于 $($　　 $)$

A． $30°$B． $35°$C． $40°$D． $45°$