初中数学直角三角形的性质试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\mathit{ED}$交线段 $\mathit{AC}$于点 $F$，点 $O$在线段 $\mathit{EF}$上， $\odot O$经过 $C$、 $E$两点，交 $\mathit{ED}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle E=30°$， $\mathit{AD}=1$， $\mathit{BD}=5$，求 $\odot O$的半径．

一张直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，点 $D$为 $\mathit{BC}$边上的任一点，沿过点 $D$的直线折叠，使直角顶点 $C$落在斜边 $\mathit{AB}$上的点 $E$处，当 $\mathit{\Delta BDE}$是直角三角形时，则 $\mathit{CD}$的长为　　．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$年 $\times$月 $\times$日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\mathit{AB}$，现根据木板的情况，要过 $\mathit{AB}$上的一点 $C$，作出 $\mathit{AB}$的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\mathit{AB}$上量出 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，然后分别以 $D$， $C$为圆心，以 $50\mathit{cm}$与 $40\mathit{cm}$为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$，作直线 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{DCE}$必为 $90°$． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$， $N$两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$与点 $C$重合，用铅笔在木板上将点 $N$对应的位置标记为点 $Q$，保持点 $N$不动，将木棒绕点 $N$旋转，使点 $M$落在 $\mathit{AB}$上，在木板上将点 $M$对应的位置标记为点 $R$．然后将 $\mathit{RQ}$延长，在延长线上截取线段 $\mathit{QS}=\mathit{MN}$，得到点 $S$，作直线 $\mathit{SC}$，则 $\angle \mathit{RCS}=90°$． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$， $\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABC}=90°$， $E$、 $F$分别为 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CD}$的中点， $\angle D=\alpha$，则 $\angle \mathit{BEF}$的度数为　　（用含 $\alpha$的式子表示）．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于 $D$， $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACD}$交 $\mathit{AB}$于 $E$，则下列结论一定成立的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{BC}=\mathit{EC}$B． $\mathit{EC}=\mathit{BE}$C． $\mathit{BC}=\mathit{BE}$D． $\mathit{AE}=\mathit{EC}$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAD}=120°$，连接 $\mathit{BD}$，作 $\mathit{AE}//\mathit{BD}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$，且 $\mathit{CF}=1$，则 $\mathit{AB}$的长是 $($　　 $)$

A．2B．1C． $\sqrt{3}$D． $\sqrt{2}$

已知， $\mathit{\Delta ABC}$为直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $P$是射线 $\mathit{CB}$上一点（点 $P$不与点 $B$、 $C$重合），线段 $\mathit{AP}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{AQ}$，连接 $\mathit{QB}$交射线 $\mathit{AC}$于点 $M$．

（1）如图①，当 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$上时，线段 $\mathit{PB}$、 $\mathit{CM}$的数量关系是　　；

（2）如图②，当 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图③，若 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=\frac{5}{2}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上， $\mathit{CM}=2$， $\mathit{AP}=13$，求 $\mathit{\Delta ABP}$的面积．

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $E$， $F$分别是 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$的中点，以 $\mathit{AC}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{ADC}$，若 $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CAB}=45°$，则下列结论不正确的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{ECD}=112.5°$B． $\mathit{DE}$平分 $\angle \mathit{FDC}$C． $\angle \mathit{DEC}=30°$D． $\mathit{AB}=\sqrt{2}\mathit{CD}$

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}＝90°$， $\mathit{OA}＝\mathit{OB}$，点C是 $\mathit{AB}$的中点，以OC为半径作 $\odot O$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OC}＝2$，求 $\mathit{OA}$的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{CE}=5$， $F$为 $\mathit{DE}$的中点．若 $\mathit{\Delta CEF}$的周长为18，则 $\mathit{OF}$的长为　        　．

如图，把三角形纸片折叠，使点 $A$、点 $C$都与点 $B$重合，折痕分别为 $\mathit{EF}$， $\mathit{DG}$，得到 $\angle \mathit{BDE}=60°$， $\angle \mathit{BED}=90°$，若 $\mathit{DE}=2$，则 $\mathit{FG}$的长为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的纸片中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=5$， $\mathit{AB}=13$．点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，以 $\mathit{AD}$为折痕将 $\mathit{\Delta ADB}$折叠得到 $\mathit{\Delta ADB}\text{'}$， $\mathit{AB}\text{'}$与边 $\mathit{BC}$交于点 $E$．若 $\mathit{\Delta DEB}\text{'}$为直角三角形，则 $\mathit{BD}$的长是　　．

如图，直线 $a//b$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角顶点 $C$在直线 $b$上， $\angle 1=20°$，则 $\angle 2=$　 　 $°$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=\sqrt{5}$ ， $\mathit{BC}=2$ ，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 的长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $C$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 的长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$8-\pi$

B．

$4-\pi$

C．

$2-\frac{\pi }{4}$

D．

$1-\frac{\pi }{4}$