初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

如图所示，直线 $\mathit{DP}$和圆 $O$相切于点 $C$，交直径 $\mathit{AE}$的延长线于点 $P$．过点 $C$作 $\mathit{AE}$的垂线，交 $\mathit{AE}$于点 $F$，交圆 $O$于点 $B$．作平行四边形 $\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DO}$， $\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）求 $\angle P$及 $\angle \mathit{AEB}$的大小．

如图，在正方形 ABCD中， AB＝6， M是对角线 BD上的一个动点（0＜ DM＜ $\frac{1}{2}$ BD），连接 AM，过点 M作 MN⊥ AM交 BC于点 N．

（1）如图①，求证： MA＝ MN；

（2）如图②，连接 AN， O为 AN的中点， MO的延长线交边 AB于点 P，当 $\frac{S_{△\mathit{AMN}}}{S_{△\mathit{BCD}}}=\frac{13}{18}$ 时，求 AN和 PM的长；

（3）如图③，过点 N作 NH⊥ BD于 H，当 AM＝2 $\mathrm{}\sqrt{5}$ 时，求△ HMN的面积．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，各内角的平分线分别相交于点 $E$， $F$， $G$， $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）猜一猜：四边形 $\mathit{EFGH}$是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{DAB}=60°$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的面积．

数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）

已知：如图，点在同一直线上，，，∥．求证：．

如图，P为等腰△ABC的顶角A的外角平分线上任一点，连接PB，PC．

（1）求证：PB+PC＞2AB．
（2）当PC=2，PB=，∠ACP=45°时，求AB的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在⊙ O中， B是⊙ O上的一点，∠ ABC＝120°，弦 AC＝2 $\mathrm{}\sqrt{3}$ ，弦 BM平分∠ ABC交 AC于点 D，连接 MA， MC．

（1）求⊙ O半径的长；

（2）求证： AB+ BC＝ BM．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DCF}$ ；

（2）四边形 $\mathit{AEFD}$ 是平行四边形．

如图，△ ABC中， D是 BC边上一点， E是 AD的中点，过点 A作 BC的平行线交 BE的延长线于 F，且 AF＝ CD，连接 CF．

（1）求证：△ AEF≌△ DEB；

（2）若 AB＝ AC，试判断四边形 ADCF的形状，并证明你的结论．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$分别切 $\odot O$于 $A$， $B$两点， $\mathit{CD}$与 $\odot O$有公共点 $E$，且 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$． $M$、 $N$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}$， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta CDN}$；

（2）点 $G$是对角线 $\mathit{AC}$上的点， $\angle \mathit{EGF}=90°$，求 $\mathit{AG}$的长．