初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在中，是边的中点，过点作，并与交于点，延长到点，使得，连接．

求证：．

如图，，、分别为、上的点，且，连接，分别与、相交于点，，若，求证：．

如图，在中，，是边的中点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，求证：．

如图，在正方形中，、分别为边和上的点，且，连接、交于点．求证：．

（1）如图①，点是外一点，点是上一动点．若的半径为3，且，则点到点的最短距离为　 ；

（2）如图②，已知正方形的边长为4，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，则点到点的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边中，，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，求面积的最大值，并说明理由．

如图，在中，延长到点，延长到点，使，连接交边于点，交边于点．求证：．

问题提出

（1）如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，请画出 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AF}=2$ ，是否在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $\mathit{EFGH}$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=3$ 米， $\mathit{AD}=6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件，使 $\angle \mathit{EFG}=90°$ ， $\mathit{EF}=\mathit{FG}=\sqrt{5}$ 米， $\angle \mathit{EHG}=45°$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AF}<\mathit{BF}$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $\mathit{ABCD}$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{BD}$ ，在 $\mathit{BD}$ 的延长线上取一点 $E$ ，在 $\mathit{DB}$ 的延长线上取一点 $F$ ，使 $\mathit{BF}=\mathit{DE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{CE}$ ．

求证： $\mathit{AF}//\mathit{CE}$ ．

如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $A(2,1)$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使四边形 $\mathit{ABOP}$ 的面积最大？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $F$ ，使 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{CF}$ ．

求证： $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．

（1）如图1，当点与点重合时，　　；

（2）如图2，连接．

①填空：　　（填“”，“ “，“” ；

②求证：点在的平分线上；

（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．

我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为　　；

②如图3，当，时，则长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．

（1）观察猜想

如图1，当时，的值是　　，直线与直线相交所成的较小角的度数是　　．

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．

如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是上不与点，重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，且点是的中点，则的长为　 　；

②取的中点，当的度数为　　时，四边形为菱形．

（1）问题发现

如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：

①的值为　　；

②的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．