初中数学全等三角形的判定与性质解答题

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一猜测探究

在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　　，与的数量关系是　　；

（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二拓展应用

如图3，在△中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．

如图，在中，、分别是和上的点，．求证：．

如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点．

（1）求证：为的切线；

（2）若，求的值．

如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，，于，连接．

（1）求证：；

（2）试说明与的位置关系和数量关系．

如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．

（1）如图1，连接，，的延长线交于点，交于点，求证：；

（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．

（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形的面积．

（1）如图1，是正方形边上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

①线段和的数量关系是　　；

②写出线段，和之间的数量关系．

（2）当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度．

如图，中，弦与相交于点，，连接、．

求证：（1）；

（2）．

在矩形中，连结，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒．过点作于点，在矩形的内部作正方形．

（1）如图，当时，

①若点在的内部，连结、，求证：；

②当时，设正方形与的重叠部分面积为，求与的函数关系式；

（2）当，时，若直线将矩形的面积分成两部分，求的值．

如图，，，．求证：．

如图，的对角线、相交于点，经过，分别交、于点、，的延长线交的延长线于．

（1）求证：；

（2）若，，，求的长．

如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证：

（1）．

（2）四边形是平行四边形．

如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、．

（1）求证：；

（2）若，请求出的长．

如图，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，与交于点，延长交于点，与交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）已知正方形的边长为1，点在运动过程中，的长能否为？请说明理由．