初中数学三角形的面积解答题

（1）探索发现

如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．

（2）阅读解析

小东遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．

填空：①图2中的一对全等三角形为　 　；

②、、三条线段之间的数量关系为　　．

（3）类比探究

如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．

①判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若，的面积为2，直接写出四边形的面积．

图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．

（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．

（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．

如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，．过点作平行于轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，且的面积是6，连接．

（1）求，，的值；

（2）求的面积．

（1）如图1，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到△；再以点为中心，把顺时针旋转，得到△，连接，则与的位置关系为　　；

（2）如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接，若，△的面积为4，则△的面积为　　．

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：，　　　　．

易知，，　　　　，　　　　．

可得．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

已知关于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0的一个根是2，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积。

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $M$从点 $C$出发沿 $\mathit{CB}$方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度匀速运动，到达点 $B$停止运动，在点 $M$的运动过程中，过点 $M$作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且保持 $\angle \mathit{NMC}=45°$，再过点 $N$作 $\mathit{AC}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{MF}$．将 $\mathit{\Delta MNF}$关于直线 $\mathit{NF}$对称后得到 $\mathit{\Delta ENF}$，已知 $\mathit{AC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，设点 $M$运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta ENF}$与 $\mathit{\Delta ANF}$重叠部分的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）在点 $M$的运动过程中，能否使得四边形 $\mathit{MNEF}$为正方形？如果能，求出相应的 $t$值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$关于 $t$的函数解析式及相应 $t$的取值范围；

（3）当 $y$取最大值时，求 $\sin \angle \mathit{NEF}$的值．

问题探究：

1．新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

2．解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

（1）如图一，若 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

（2）如图二，若 $\mathit{ME}\parallel \mathit{BC}$，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点 $（0＜\mathit{AM}＜1）$，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且 $S_{△\mathit{MOA}}＝S_{△\mathit{DOE}}$．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证： $\mathit{MD}\parallel \mathit{AE}$；

（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

问题提出

（1）如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=45°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，且 $\mathit{DF}=5$ ，求四边形 $\mathit{ABFE}$ 的面积．（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 $\mathit{ABCDE}$ ．按设计要求，要在五边形河畔公园 $\mathit{ABCDE}$ 内挖一个四边形人工湖 $\mathit{OPMN}$ ，使点 $O$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{AB}$ 上，且满足 $\mathit{BO}=2\mathit{AN}=2\mathit{CP}$ ， $\mathit{AM}=\mathit{OC}$ ．已知五边形 $\mathit{ABCDE}$ 中， $\angle A=\angle B=\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=800m$ ， $\mathit{BC}=1200m$ ， $\mathit{CD}=600m$ ， $\mathit{AE}=900m$ ．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $\mathit{OPMN}$ ？若存在，求四边形 $\mathit{OPMN}$ 面积的最小值及这时点 $N$ 到点 $A$ 的距离；若不存在，请说明理由．