欧拉 ，1707年 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 |
三棱锥 |
三棱柱 |
正方体 |
正八面体 |
图形 |
|
|
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|
顶点数 |
4 |
6 |
8 |
6 |
棱数 |
6 |
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12 |
|
面数 |
4 |
5 |
|
8 |
（2）分析表中的数据，你能发现 、 、 之间有什么关系吗？请写出关系式： ．
如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，且 ，与 轴交于点 ，连接 ，抛物线对称轴为直线 ， 为第一象限内抛物线上一动点，过点 作 于点 ，与 交于点 ，设点 的横坐标为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段 的长度最大时，求 点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
如图，在等边三角形 中，点 是边 上一定点，点 是直线 上一动点，以 为一边作等边三角形 ，连接 ．
【问题解决】
如图1，若点 在边 上，求证： ；
【类比探究】
如图2，若点 在边 的延长线上，请探究线段 ， 与 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 |
男性 岁） |
女性 岁） |
|||||
抽样人数（人 |
2000 |
5000 |
20000 |
2000 |
5000 |
20000 |
|
平均身高（厘米） |
173 |
175 |
176 |
164 |
165 |
164 |
|
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 176 厘米，女性应采用 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆 ， 的连接点 处， 点距地面110厘米．臂杆落下时两端点 ， 在同一水平线上， 厘米，点 在点 的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 |
计算结果（近似值） |
计算器按键顺序 |
计算结果（近似值） |
|
0.1 |
|
78.7 |
|
0.2 |
|
84.3 |
|
1.7 |
|
5.7 |
|
3.5 |
|
11.3 |
粤公网安备 44130202000953号