初中数学三角形试题

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ， $\mathit{CD}$ 是斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $\mathit{BC}$ 上一点，将 $\mathit{\Delta BDE}$ 沿 $\mathit{DE}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

（1）若 $\mathit{AB}=a$ ．直接写出 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $\mathit{CE}$ 的异侧，连接 $\mathit{CF}$ ，如②，判断四边形 $\mathit{ADFC}$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ ，直接写出 $\angle \mathit{BDE}$ 的度数．

如图，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle B=\angle C$ ，求证： $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，点 $P$ 为边 $\mathit{AD}$ 上任意一点（点 $P$ 不与点 $A$ ， $D$ 重合）连接 $\mathit{CP}$ ．若 $\angle B=120°$ ，则 $\angle \mathit{APC}$ 的度数可能为 $($ 　　 $)$

A．

$30°$

B．

$45°$

C．

$50°$

D．

$65°$

实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将正方形纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的内部，点 $B$ 的对应点为点 $M$ ，折痕为 $\mathit{AE}$ ，再将纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{AM}$ 重合，折痕为 $\mathit{AF}$ ，则 $\angle \mathit{EAF}=$ 　　度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿 $\mathit{EF}$ 继续折叠，点 $C$ 的对应点为点 $N$ ．我们发现，当点 $E$ 的位置不同时，点 $N$ 的位置也不同．当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边的某一位置时，点 $N$ 恰好落在折痕 $\mathit{AE}$ 上，则 $\angle \mathit{AEF}=$ 　　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设 $\mathit{AM}$ 与 $\mathit{NF}$ 的交点为点 $P$ ．求证： $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta FNE}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ，则线段 $\mathit{AP}$ 的长为 　　．

将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$ ，则 $\angle \mathit{ADE}$ 的大小为 　　度．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$ ．用无刻度的直尺和圆规在 $\mathit{BC}$ 边上找一点 $D$ ，使 $\mathit{\Delta ACD}$ 为等腰三角形．下列作法不正确的是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线，若 $\angle \mathit{BAC}=35°$ ，则 $\angle \mathit{ACB}$ 的大小为 $($ 　　 $)$

A．

$35°$

B．

$45°$

C．

$55°$

D．

$65°$

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．

将一物体（视为边长为 $\frac{2}{\pi }$ 米的正方形 $\mathit{ABCD})$ 从地面 $\mathit{PQ}$ 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 $B$ 与斜面 $\mathit{EF}$ 上的点 $E$ 重合，先将该物体绕点 $B$ （E）按逆时针方向旋转至正方形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$ 的位置，再将其沿 $\mathit{EF}$ 方向平移至正方形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ 的位置（此时点 $B_2$ 与点 $G$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $\mathit{MG}$ 上．已知 $\mathit{MG}//\mathit{PQ}$ ， $\angle \mathit{FBP}=30°$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{MG}$ 于点 $H$ ， $\mathit{FH}=\frac{1}{3}$ 米， $\mathit{EF}=4$ 米．

（1）求线段 $\mathit{FG}$ 的长度；

（2）求在此过程中点 $A$ 运动至点 $A_2$ 所经过的路程．

《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图 $($ " "为"蜨"，同"蝶" $)$ ，它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的"樣"和"隻"为"样"和"只" $)$ ．图②为某蝶几设计图，其中 $\mathit{\Delta ABD}$ 和 $\mathit{\Delta CBD}$ 为"大三斜"组件 $($ "一樣二隻"的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点 $P$ 处，点 $P$ 与点 $A$ 关于直线 $\mathit{DQ}$ 对称，连接 $\mathit{CP}$ 、 $\mathit{DP}$ ．若 $\angle \mathit{ADQ}=24°$ ，则 $\angle \mathit{DCP}=$ 　　度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{BD}=\mathit{CD}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 至 $E$ ，使得 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ．

（1）求证： $\angle B=\angle \mathit{ACB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AD}=4$ ，求 $\mathit{\Delta ABE}$ 的周长和面积．

人教版初中数学教科书八年级上册第 $35-36$页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知： $\mathit{\Delta ABC}$． 求作：△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$，使得△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}\cong \mathit{\Delta ABC}$． 作法：如图． （1）画 $B^{\text{'}}C\text{'}=\mathit{BC}$； （2）分别以点 $B\text{'}$， $C\text{'}$为圆心，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$长为半径画弧，两弧相交于点 $A\text{'}$； （3）连接线段 $A\text{'}B\text{'}$， $A\text{'}C\text{'}$，则△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） $:$

证明：由作图可知，在△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$和 $\mathit{\Delta ABC}$中，

$\left\{\begin{array}{c}B\text{'}C\text{'}=\mathit{BC}\\ A\text{'}B\text{'}=\left(\right)\\ A\text{'}C\text{'}=\left(\right)\end{array}\right.$

$\therefore$△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\text{'}\cong$　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　　．（填序号）

① $\mathit{AAS}$

② $\mathit{ASA}$

③ $\mathit{SAS}$

④ $\mathit{SSS}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ，若 $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{DE}=1.6$ ，则 $\mathit{BD}$ 的长为 　　．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 的中点，若 $\mathit{OE}=6$ ，则 $\mathit{BC}$ 的长为 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{ABO}=90°$ ， $\angle \mathit{OAB}=30°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 为半径的圆交 $\mathit{BO}$ 的延长线于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{OA}$ 的平行线，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 为 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$ ，求弧 $\mathit{CD}$ 的长．