初中数学三角形试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta DEF}$ 都是等腰直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ， $\angle \mathit{EDF}=90°$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 边中点，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $A$ 、 $F$ 、 $E$ 三点恰好在一条直线上， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）猜想 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BF}$ ， $\mathit{BC}$ 之间的数量关系，并证明；

（3）若 $\mathit{CH}=2$ ， $\mathit{AH}=4$ ，请写出线段 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AE}$ 的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=4$ ，点 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 边上一点， $\mathit{AE}=3$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $\angle F=\frac{1}{2}\angle \mathit{EDC}$ ，则 $\mathit{CF}=$ 　　．

如图， $\mathit{DE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的中位线， $F$ 为 $\mathit{DE}$ 中点，连接 $\mathit{AF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，若 $S_{\mathit{\Delta EFG}}=1$ ，则 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=$ 　　．

如图， $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 分别交于点 $E$ ， $G$ ， $F$ ，且 $\angle 1=\angle 2=30°$ ， $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{AB}//\mathit{CD}$

B．

$\angle 3=60°$

C．

$\mathit{FG}=\frac{1}{2}\mathit{FC}$

D．

$\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．

如图，将正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{PQ}$ 折叠，使点 $C$ 的对称点 $E$ 落在边 $\mathit{AB}$ 上，点 $D$ 的对称点为点 $F$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CG}$ 交 $\mathit{PQ}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．下列四个结论中：① $\mathit{\Delta PBE}~\mathit{\Delta QFG}$ ；② $S_{\mathit{\Delta CEG}}=S_{\mathit{\Delta CBE}}+S_{\mathit{四边形}\mathit{CDQH}}$ ；③ $\mathit{EC}$ 平分 $\angle \mathit{BEG}$ ；④ $E{G}^2-C{H}^2=\mathit{GQ}\cdot \mathit{GD}$ ，正确的是 　　（填序号即可）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线 $\mathit{BD}$ 与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ ，若 $\mathit{BE}=\mathit{AC}=2$ ，则 $\mathit{\Delta CEF}$ 的周长为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{3}+1$

B．

$\sqrt{5}+3$

C．

$\sqrt{5}+1$

D．

4

一副三角板如图所示摆放，若 $\angle 1=80°$ ，则 $\angle 2$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$80°$

B．

$95°$

C．

$100°$

D．

$110°$

课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $\angle A$ 相等的角是 　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 与 $\angle \mathit{ADC}$ 互余，小明发现四边形 $\mathit{ABCD}$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{ABC}$ ，再过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，发现 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，点 $O$ 是 $\mathit{\Delta ACD}$ 两边垂直平分线的交点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{OAC}=\angle \mathit{ABC}$ ．

①求证： $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=90°$ ；

②连接 $\mathit{BD}$ ，如图4，已知 $\mathit{AD}=m$ ， $\mathit{DC}=n$ ， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=2$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

如图，正比例函数 $y=x$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A(1,a)$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ，点 $C$ 坐标为 $(-2,0)$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）求 $\mathit{AB}$ 所在直线的解析式．

（1）计算： ${(-1)}^2-{(\pi -2021)}^0+|-\frac{1}{2}|$ ；

（2）如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ， $\angle \mathit{ABC}=80°$ ， $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$ 于点 $D$ ，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ．

如图，在边长为 $6\sqrt{3}$ 的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 中，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，其中点 $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{CF}$ 上的动点．若以 $M$ ， $N$ ， $D$ 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　　．

如图，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿对角线 $\mathit{AC}$ 翻折，点 $B$ 落在点 $E$ 处， $\mathit{CE}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle B=80°$ ， $\angle \mathit{ACE}=2\angle \mathit{ECD}$ ， $\mathit{FC}=a$ ， $\mathit{FD}=b$ ，则 $▱\mathit{ABCD}$ 的周长为 　　．

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $\mathit{BC}=2$，使用作图工具作 $\angle \mathit{BAC}=30°$，尝试操作后思考： （1）这样的点 $A$唯一吗？ （2）点 $A$的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$的位置不唯一，它在以 $\mathit{BC}$为弦的圆弧上（点 $B$、 $C$除外）， $\dots$．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为 　　；

② $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值为 　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A\text{'}$，请你根据图1证明 $\angle \mathit{BA}\text{'}C>30°$．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的边长 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在直线 $\mathit{CD}$的左侧，且 $\tan \angle \mathit{DPC}=\frac{4}{3}$．

①线段 $\mathit{PB}$长的最小值为 　　；

②若 $S_{\mathit{\Delta PCD}}=\frac{2}{3}{S}_{\mathit{\Delta PAD}}$，则线段 $\mathit{PD}$长为 　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BA}$ 长为半径作 $\odot B$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $\mathit{CD}$ 与 $\odot B$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ，求图中阴影部分的面积．